Mācies Vieglāk
Sinuss un kosinuss

Vienības riņķis

TeorijaUzdevumi

Vienības riņķis

Trijstūrī sin⁡\sin un cos⁡\cos darbojas tikai šauriem leņķiem (0∘ – 90∘)(0^\circ\,\text{–}\,90^\circ) — tālāk trijstūris vienkārši vairs neder. Vienības riņķis šo robežu noņem: ar to var aprēķināt sin⁡\sin un cos⁡\cos jebkuram leņķim — arī lielākam par 90∘90^\circ vai negatīvam.

Vienības riņķisRiņķis, kas novilkts ap koordinātu sākumpunktu, un tā rādiuss ir tieši r=1r = 1.
xy1−11−10
r = 1
A+−

Leņķa zīme norāda virzienu, kurā tas mērīts no pozitīvās OxOx ass.

Pozitīvs leņķis +

Rotācija pretēji pulksteņa rādītājam, leņķis pieaug.

Negatīvs leņķis −

Rotācija pulksteņa rādītāja virzienā, leņķis samazinās.

Sin un cos vērtības

Leņķa galapunktu uz riņķa var projicēt uz abām asīm. cos⁡\cos ir horizontālā projekcija (cik tālu pa labi vai pa kreisi), bet sin⁡\sin ir vertikālā projekcija (cik augstu vai zemu).

xy1−11−10
cos⁡α\cos\alpha
sin⁡α\sin\alpha
αα

Tā kā rādiuss vienmēr ir 11, gan sin⁡\sin, gan cos⁡\cos vērtības ir tikai no −1-1 līdz 11.

Zīmes pa kvadrantiem

Asis sadala riņķi četrās daļās — kvadrantos, ko numurē II–IVIV pretēji pulksteņa rādītājam, sākot no augšējā labā stūra.

xyIIIIIIIV0

Atkarībā no tā, kurā kvadrantā atrodas leņķis, sin⁡\sin un cos⁡\cos pieņem pozitīvas vai negatīvas vērtības. Zem riņķa redzams, kur katra zīme ir ++ un kur −-.

IIIIIIIV
sin⁡α\sin\alpha++++−-−-
cos⁡α\cos\alpha++−-−-++
sin⁡α\sin\alpha
++−−
cos⁡α\cos\alpha
+−−+

Galvenās vērtības

Pēc būtības jāiegaumē tikai trīs vērtības: 12\dfrac12, 22\dfrac{\sqrt2}{2} un 32\dfrac{\sqrt3}{2} — pārējos kvadrantos tās pašas vērtības atkārtojas, tikai vajadzības gadījumā jāpieliek mīnuss. Asu krustpunktos ar vienības riņķi sin⁡\sin un cos⁡\cos pieņem vērtības 0, ±10,\ \pm 1. Tās jāzina no galvas.

To pašu punktu var pierakstīt arī ar negatīvu leņķi — ejot pulksteņa rādītāja virzienā. Piemēram, 330∘330^\circ un −30∘-30^\circ norāda uz vienu un to pašu punktu (IV kvadrantā tas bieži ir ērtāk).

cos⁡α\cos\alpha
sin⁡α\sin\alpha
1−11−10
−32-\tfrac{\sqrt3}{2}
−32-\tfrac{\sqrt3}{2}
−22-\tfrac{\sqrt2}{2}
−22-\tfrac{\sqrt2}{2}
−12-\tfrac12
−12-\tfrac12
12\tfrac12
12\tfrac12
22\tfrac{\sqrt2}{2}
22\tfrac{\sqrt2}{2}
32\tfrac{\sqrt3}{2}
32\tfrac{\sqrt3}{2}
0∘0^{\circ}
30∘30^{\circ}
45∘45^{\circ}
60∘60^{\circ}
90∘90^{\circ}
120∘120^{\circ}
135∘135^{\circ}
150∘150^{\circ}
180∘180^{\circ}
210∘210^{\circ}
225∘225^{\circ}
240∘240^{\circ}
270∘270^{\circ}
300∘ (−60∘)300^{\circ}\,(-60^{\circ})
315∘ (−45∘)315^{\circ}\,(-45^{\circ})
330∘ (−30∘)330^{\circ}\,(-30^{\circ})
0∘0^\circ30∘30^\circ45∘45^\circ60∘60^\circ90∘90^\circ
cos⁡α\cos\alpha1132\dfrac{\sqrt3}{2}22\dfrac{\sqrt2}{2}12\dfrac1200
sin⁡α\sin\alpha0012\dfrac1222\dfrac{\sqrt2}{2}32\dfrac{\sqrt3}{2}11
1
Nosakām kvadrantu:

180∘<225∘<270∘180^\circ < 225^\circ < 270^\circ → III kvadrants.

2
Nosakām pozīciju III kvadrantā:
225∘=180∘+45∘225^\circ = 180^\circ + {\color{#1865f2} 45^\circ}

Leņķa galapunkts ir 45° aiz III kvadranta sākuma.

xy0
0∘0^{\circ}
30∘30^{\circ}
45∘45^{\circ}
60∘60^{\circ}
90∘90^{\circ}
120∘120^{\circ}
135∘135^{\circ}
150∘150^{\circ}
180∘180^{\circ}
210∘210^{\circ}
225∘225^{\circ}
240∘240^{\circ}
270∘270^{\circ}
300∘300^{\circ}
315∘315^{\circ}
330∘330^{\circ}
225∘225^{\circ}
1
Nosakām virzienu:

Leņķis ir negatīvs → mēra pulksteņa rādītāja virzienā no 0∘0^\circ.

2
Atrodam galapunktu:
−30∘=360∘−30∘=330∘-30^\circ = 360^\circ - 30^\circ = {\color{#1865f2} 330^\circ}

Galapunkts sakrīt ar 330∘330^\circ — IV kvadrants.

xy0
0∘0^{\circ}
30∘30^{\circ}
45∘45^{\circ}
60∘60^{\circ}
90∘90^{\circ}
120∘120^{\circ}
135∘135^{\circ}
150∘150^{\circ}
180∘180^{\circ}
210∘210^{\circ}
225∘225^{\circ}
240∘240^{\circ}
270∘270^{\circ}
300∘300^{\circ}
315∘315^{\circ}
330∘330^{\circ}
−30∘-30^{\circ}

Radiāni

Grādi ir tikai vienošanās — pilns aplis sadalīts 360360 daļās. Radiāni leņķi mēra pašu riņķa garumā: cik rādiusu garš ir loks. Tas ir dabiskāks mērs, tāpēc augstākajā matemātikā un fizikā leņķus parasti pieraksta tieši radiānos.

Radiāns

Leņķis, kuram atbilstošais loks ar garumu 1 rādiuss RR. Pilnā riņķī ietilpst 2π2\pi šādu loku, tāpēc 2π2\pi rad =360∘.= 360^\circ.

ORRR
360∘=2π rad360^\circ = 2\pi \text{ rad}

Galvenā attiecība

Grādi → Radiāni
αrad=α∘⋅π180\alpha_{\text{rad}} = \alpha_\circ \cdot \frac{\pi}{180}
Radiāni → Grādi
α∘=αrad⋅180π\alpha_\circ = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}
Grādi30∘30^\circ45∘45^\circ60∘60^\circ90∘90^\circ180∘180^\circ270∘270^\circ
Radiāniπ6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}π\pi3π2\dfrac{3\pi}{2}
1
Ievieto formulā:
αrad=120⋅π180\alpha_{\text{rad}} = 120 \cdot \dfrac{\pi}{180}
2
Saīsini daļu:
αrad=120π180=1202π1803=2π3\alpha_{\text{rad}} = \dfrac{120\pi}{180} = \dfrac{\cancel{120}^{2}\pi}{\cancel{180}^{3}} = {\color{#1865f2} \dfrac{2\pi}{3}}
1
Ievieto formulā:
α∘=3π4⋅180π\alpha_\circ = \dfrac{3\pi}{4} \cdot \dfrac{180}{\pi}
2
Saīsini un izrēķini:
α∘=3⋅1804=135∘\alpha_\circ = \dfrac{3 \cdot 180}{4} = {\color{#1865f2} 135^\circ}

Radiāni uz vienības riņķa

Tos pašus galapunktus uz vienības riņķa var apzīmēt arī ar radiāniem — katra grādu vērtība atbilst noteiktai π\pi daļai. Riņķi lieto tieši tāpat: leņķi atliek no pozitīvās OxOx ass, tikai pierakstā grādu vietā ir radiāni.

cos⁡α\cos\alpha
sin⁡α\sin\alpha
1−11−10
−32-\tfrac{\sqrt3}{2}
−32-\tfrac{\sqrt3}{2}
−22-\tfrac{\sqrt2}{2}
−22-\tfrac{\sqrt2}{2}
−12-\tfrac12
−12-\tfrac12
12\tfrac12
12\tfrac12
22\tfrac{\sqrt2}{2}
22\tfrac{\sqrt2}{2}
32\tfrac{\sqrt3}{2}
32\tfrac{\sqrt3}{2}
00
π6\tfrac{\pi}{6}
π4\tfrac{\pi}{4}
π3\tfrac{\pi}{3}
π2\tfrac{\pi}{2}
2π3\tfrac{2\pi}{3}
3π4\tfrac{3\pi}{4}
5π6\tfrac{5\pi}{6}
π\pi
7π6\tfrac{7\pi}{6}
5π4\tfrac{5\pi}{4}
4π3\tfrac{4\pi}{3}
3π2\tfrac{3\pi}{2}
5π3\tfrac{5\pi}{3}
7π4\tfrac{7\pi}{4}
11π6\tfrac{11\pi}{6}
1
Nosakām kvadrantu:

π<5π4<3π2\pi < \dfrac{5\pi}{4} < \dfrac{3\pi}{2} → III kvadrants.

2
Nosakām pozīciju III kvadrantā:
5π4=π+π4\dfrac{5\pi}{4} = \pi + {\color{#1865f2} \dfrac{\pi}{4}}

Leņķa galapunkts ir π4\tfrac{\pi}{4} aiz III kvadranta sākuma.

xy0
00
π6\tfrac{\pi}{6}
π4\tfrac{\pi}{4}
π3\tfrac{\pi}{3}
π2\tfrac{\pi}{2}
2π3\tfrac{2\pi}{3}
3π4\tfrac{3\pi}{4}
5π6\tfrac{5\pi}{6}
π\pi
7π6\tfrac{7\pi}{6}
5π4\tfrac{5\pi}{4}
4π3\tfrac{4\pi}{3}
3π2\tfrac{3\pi}{2}
5π3\tfrac{5\pi}{3}
7π4\tfrac{7\pi}{4}
11π6\tfrac{11\pi}{6}
5π4\tfrac{5\pi}{4}
1
Nosakām virzienu:

Leņķis ir negatīvs → mēra pulksteņa rādītāja virzienā no 00.

2
Atrodam galapunktu:
−π6=2π−π6=11π6-\dfrac{\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = {\color{#1865f2} \dfrac{11\pi}{6}}

Galapunkts sakrīt ar 11π6\tfrac{11\pi}{6} — IV kvadrants.

xy0
00
π6\tfrac{\pi}{6}
π4\tfrac{\pi}{4}
π3\tfrac{\pi}{3}
π2\tfrac{\pi}{2}
2π3\tfrac{2\pi}{3}
3π4\tfrac{3\pi}{4}
5π6\tfrac{5\pi}{6}
π\pi
7π6\tfrac{7\pi}{6}
5π4\tfrac{5\pi}{4}
4π3\tfrac{4\pi}{3}
3π2\tfrac{3\pi}{2}
5π3\tfrac{5\pi}{3}
7π4\tfrac{7\pi}{4}
11π6\tfrac{11\pi}{6}
−π6-\tfrac{\pi}{6}
Sakarības taisnleņķa trijstūrīSinusa un kosinusa grafiki