Mācies Vieglāk
Taisnes un plaknes telpā, daudzskaldņi

Taisnleņķa trijstūra aprēķināšana

TeorijaUzdevumi

Pitagora teorēma

Zinot jebkuras divas malas no taisnleņķa trijstūra, vienmēr var atrast trešo.

c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2

cc — hipotenuza , a, ba,\ b — katetes

abc
34c
1
Ievietojam formulā:
c2=a2+b2=32+42=9+16=25c^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
2
Atrodam c:
c=25=5 cmc = \sqrt{25} = {\color{#1865f2} 5 \text{ cm}}

Trigonometriskās attiecības

sin⁡α=ac\sin\alpha = \frac{a}{c}

aa — pretkatete 
cc — hipotenuza

cos⁡α=bc\cos\alpha = \frac{b}{c}

bb — piekatete 
cc — hipotenuza

tan⁡α=ab\tan\alpha = \frac{a}{b}

aa — pretkatete 
bb — piekatete

αbac

Šīs vērtības parādās gandrīz visos uzdevumos — tās jāzina:

30∘30^\circ45∘45^\circ60∘60^\circ
sin⁡α\sin\alpha12\dfrac{1}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡α\cos\alpha32\dfrac{\sqrt{3}}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}12\dfrac{1}{2}
tan⁡α\tan\alpha33\dfrac{\sqrt{3}}{3}113\sqrt{3}
60°6ABC
1
Izvēlamies formulu:
ABAB ir pretkatete, ACAC — hipotenuza → izmantojam sin⁡\sin
2
Rakstām vienādojumu:
sin⁡60∘=ABAC  ⟹  32=6AC\displaystyle \sin 60^\circ = \frac{AB}{AC} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{AC}
3
Atrisinām:
AC=6⋅23=123=43≈6,93 cm\displaystyle AC = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = {\color{#1865f2} 4\sqrt{3} \approx 6{,}93 \text{ cm}}

Katete pret 30° leņķi

Ja taisnleņķa trijstūrī ir 30∘30^\circ leņķis, malas bieži var noteikt no galvas, neizmantojot funkcijas.

Katete pret 30°— puse no hipotenūzes: a=12 ca = \tfrac{1}{2}\,c
Hipotenūza—divas reizes garāka par kateti pret 30∘30^\circ: c=2ac = 2a
Katete pret 60°—īsākā katete, reizināta ar 3\sqrt{3}.
30°ac
30°6x
1
Lietojam likumu:
Hipotenūza ir divas reizes garāka par kateti pret 30∘30^\circ
2
Aprēķinām:
x=2⋅6=12 mx = 2 \cdot 6 = {\color{#1865f2} 12 \text{ m}}

Vienādsānu taisnleņķa trijstūris

Ja taisnleņķa trijstūrī viens šaurais leņķis ir 45∘45^\circ, tad arī otrs ir 45∘45^\circ, un abas katetes ir vienāda garuma.

c=a2c = a\sqrt{2}

cc — hipotenūza , aa — katete

45°45°aa
a2a\sqrt{2}

Tāpēc arī kvadrāta diagonāle ir tā malas garums, reizināts ar 2\sqrt{2}.

45°45°55?
1
Lietojam sakarību:
c=a2=52c = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2}
2
Novērtējam:
c=52≈7,07 cmc = {\color{#1865f2} 5\sqrt{2} \approx 7{,}07 \text{ cm}}
NākamāTaisnes un plaknes telpā