Mācies Vieglāk
Trigonometriskās izteiksmes

Trigonometriskā pamatidentitāte

TeorijaUzdevumi

Redukcijas formulas

Trigonometrisko funkciju vērtības zinām tikai šauriem leņķiem (0∘–90∘0^\circ\text{–}90^\circ). Redukcijas formulas ļauj jebkuru lielāku leņķi pārrakstīt kā šauru — un parāda, kā mainās funkcijas nosaukums un zīme.

Reducēsim sin⁡225∘\sin 225^\circ

1
Pieraksta caur tuvāko asi un šauru leņķi:
225∘=180∘+45∘225^\circ = 180^\circ + 45^\circ
2
Kvadrants nosaka zīmi (++ vai −-) pēc sākotnējās funkcijas:
225∘∈III  ⇒  sin⁡<0225^\circ \in \text{III} \;\Rightarrow\; \sin < 0
3
Nosaka nosaukumu: pie 90∘90^\circ un 270∘270^\circ tas mainās, pie 180∘180^\circ un 360∘360^\circ paliek tas pats. Šeit pie 180∘180^\circ nosaukums nemainās:
sin⁡225∘=sin⁡(180∘+45∘)=−sin⁡45∘=−22\sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = {\color{#1865f2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2}}
1
Kvadrants → zīme:
120∘∈II⇒cos⁡<0120^\circ \in \text{II} \Rightarrow \cos < 0
2
Pierakstīt caur tuvāko asi:
cos⁡120∘=cos⁡(90∘+30∘)\cos 120^\circ = \cos(90^\circ + 30^\circ)
3
Pielietot formulu (pie 90∘90^\circ nosaukums mainās):
cos⁡(90∘+30∘)=−sin⁡30∘=−12\cos(90^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = {\color{#1865f2} -\dfrac{1}{2}}
1
Kvadrants → zīme:
210∘∈III⇒sin⁡<0210^\circ \in \text{III} \Rightarrow \sin < 0
2
Pierakstīt caur tuvāko asi:
sin⁡210∘=sin⁡(180∘+30∘)\sin 210^\circ = \sin(180^\circ + 30^\circ)
3
Pielietot formulu (pie 180∘180^\circ nosaukums nemainās):
sin⁡(180∘+30∘)=−sin⁡30∘=−12\sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = {\color{#1865f2} -\dfrac{1}{2}}

Tieši tāpat strādā arī ar radiāniem — tikai asis tagad irπ2\dfrac{\pi}{2}, π\pi, 3π2\dfrac{3\pi}{2} un 2π2\pi.

1
Kvadrants → zīme:
2π3∈II⇒sin⁡>0\dfrac{2\pi}{3} \in \text{II} \Rightarrow \sin > 0
2
Pierakstīt caur tuvāko asi:
sin⁡2π3=sin⁡ ⁣(π−π3)\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right)
3
Pielietot formulu (pie π\pi nosaukums nemainās):
sin⁡ ⁣(π−π3)=sin⁡π3=32\sin\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3} = {\color{#1865f2} \dfrac{\sqrt{3}}{2}}

Periodiskums

Pēc pilna apgrieziena (360∘360^\circ) punkts vienības riņķī atgriežas tajā pašā vietā, tāpēc sin⁡\sin un cos⁡\cos vērtība atkārtojas. Pilnos apgriezienus var atmest: sin⁡(α+360∘)=sin⁡α\sin(\alpha + 360^\circ) = \sin\alpha.

Vienkāršosim sin⁡585∘\sin 585^\circ

1
Atmetam pilnu apgriezienu, lai paliktu leņķis 0∘–360∘0^\circ\text{–}360^\circ:
585∘=360∘+225∘  ⟶  225∘585^\circ = 360^\circ + 225^\circ \;\longrightarrow\; 225^\circ
2
Nosakām kvadrantu — tas dod zīmi (III, sinuss negatīvs):
225∘∈III  ⇒  sin⁡225∘<0225^\circ \in \text{III} \;\Rightarrow\; \sin 225^\circ < 0
3
Pierakstām caur tuvāko asi un šauru leņķi:
sin⁡225∘=sin⁡(180∘+45∘)\sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ)
4
Pielietojam formulu: pie 180∘180^\circ nosaukums nemainās:
sin⁡(180∘+45∘)=−sin⁡45∘=−22\sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = {\color{#1865f2} -\dfrac{\sqrt{2}}{2}}
1
Atmest pilnos apgriezienus:
1230∘=3⋅360∘+150∘  ⟶  150∘1230^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 150^\circ \;\longrightarrow\; 150^\circ
2
Kvadrants → zīme:
150∘∈II⇒cos⁡<0150^\circ \in \text{II} \Rightarrow \cos < 0
3
Pierakstīt caur tuvāko asi:
cos⁡150∘=cos⁡(180∘−30∘)\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ)
4
Pielietot formulu (pie 180∘180^\circ nosaukums nemainās):
cos⁡(180∘−30∘)=−cos⁡30∘=−32\cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = {\color{#1865f2} -\dfrac{\sqrt{3}}{2}}

Radiānos viss ir tāpat — pilns apgrieziens ir 2π2\pi, tāpēc pilnos apgriezienus atmet pa 2π2\pi: sin⁡(α+2π)=sin⁡α\sin(\alpha + 2\pi) = \sin\alpha.

1
Atmest pilnos apgriezienus:
17π6=2π+5π6  ⟶  5π6\dfrac{17\pi}{6} = 2\pi + \dfrac{5\pi}{6} \;\longrightarrow\; \dfrac{5\pi}{6}
2
Kvadrants → zīme:
5π6∈II⇒cos⁡<0\dfrac{5\pi}{6} \in \text{II} \Rightarrow \cos < 0
3
Pierakstīt caur tuvāko asi:
cos⁡5π6=cos⁡ ⁣(π−π6)\cos\dfrac{5\pi}{6} = \cos\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right)
4
Pielietot formulu (pie π\pi nosaukums nemainās):
cos⁡ ⁣(π−π6)=−cos⁡π6=−32\cos\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{6} = {\color{#1865f2} -\dfrac{\sqrt{3}}{2}}

Trigonometriskā pamatidentitāte

Sinuss un kosinuss vienmēr ir savstarpēji saistīti — zinot vienu, otru var izteikt. Šo saistību apraksta Pitagora teorēma vienības riņķī.

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
1
Izteikt cos⁡2α\cos^2\alpha no identitātes:
cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−925=1625\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}
2
Vilkt sakni (šaurs leņķis → cos⁡α\cos\alpha ir +):
cos⁡α=45\cos\alpha = {\color{#1865f2} \dfrac{4}{5}}
1
Izteikt sin⁡2α\sin^2\alpha no identitātes:
sin⁡2α=1−cos⁡2α=1−25169=144169\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}
2
Noteikt zīmi (II kvadrants → sin⁡α\sin\alpha ir +):
α∈(90∘; 180∘)⇒sin⁡α>0\alpha \in (90^\circ;\, 180^\circ) \Rightarrow \sin\alpha > 0
3
Vilkt sakni:
sin⁡α=1213\sin\alpha = {\color{#1865f2} \dfrac{12}{13}}

Vienkāršošana ar identitāti

Bieži vien izteiksmē ir summa sin⁡2+cos⁡2\sin^2 + \cos^2 — to uzreiz aizstāj ar 1.

1
Iznest kopīgo reizinātāju:
6−2(sin⁡22α+cos⁡22α)6 - 2(\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha)
2
Atpazīt identitāti (arguments 2α2\alpha — vienāds):
sin⁡22α+cos⁡22α=1\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1
3
Aprēķināt:
6−2⋅1=46 - 2 \cdot 1 = {\color{#1865f2} 4}
1
Atpazīt divu kvadrātu starpību:
sin⁡4x−cos⁡4x=(sin⁡2x)2−(cos⁡2x)2\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 - (\cos^2 x)^2
2
Sadalīt reizinātājos: a2−b2=a^2 - b^2 =
(a−b)(a+b)(a-b)(a+b):
=(sin⁡2x−cos⁡2x)(sin⁡2x+cos⁡2x)= (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)
3
Aizstāt otrājo iekavas ar 11:
=sin⁡2x−cos⁡2x= {\color{#1865f2} \sin^2 x - \cos^2 x}

Kvadrātu formulas trig izteiksmēm

Algebriskās īssavienojuma formulas darbojas tieši tāpat ar sin un cos kā ar jebkuriem skaitļiem.

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
1
Atpazīt divu kvadrātu starpību:
sin⁡2x−cos⁡2x=(sin⁡x)2−(cos⁡x)2\sin^2 x - \cos^2 x = (\sin x)^2 - (\cos x)^2
2
Pielietot formulu:
=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)= {\color{#1865f2} (\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}
1
Izvērst skaitītāja kvadrātu:
(sin⁡x+cos⁡x)2=sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x
2
Grupēt pamatidentitāti (sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1):
=(sin⁡2x+cos⁡2x)+2sin⁡xcos⁡x=1+2sin⁡xcos⁡x= (\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x \cos x = 1 + 2\sin x \cos x
3
Atņemt 11 (skaitītājs):
(sin⁡x+cos⁡x)2−1=2sin⁡xcos⁡x(\sin x + \cos x)^2 - 1 = 2\sin x \cos x
4
Saīsināt ar saucēju:
2sin⁡xcos⁡xsin⁡xcos⁡x=2\dfrac{2\cancel{\sin x \cos x}}{\cancel{\sin x \cos x}} = {\color{#1865f2} 2}
Argumentu summas un starpības