Mācies Vieglāk
Daļveida vienādojumi un nevienādības

Daļveida nevienādības. Intervālu metode

TeorijaUzdevumi

Daļveida nevienādības

Iepriekš atkārtojām lineāras un kvadrātnevienādības. Tagad pievienojam vēl vienu veidu, kur nezināmais slēpjas daļas saucējā.

Daļveida nevienādībaNevienādība, kurā mainīgais xx atrodas daļas saucējā.

Ir viens likums, kas ir spēkā vienmēr: ar nulli dalīt nedrīkst, tāpēc saucējs nekad nedrīkst būt 00. Tās xx vērtības, kurās saucējs kļūst par nulli, no atrisinājuma vienmēr izslēdz — pat tad, ja zīme ir nestingra (≤\leq vai ≥\geq).

Aizstāšana ar nevienādību sistēmām

Neatkarīgi no metodes daļveida nevienādību vispirms saved pamatformā — visus locekļus pārnes uz vienu pusi (lai otrā pusē būtu 00) un kreiso pusi savelk vienā daļā:

f(x)g(x)>0\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0

Viens paņēmiens ir daļu aizstāt ar nevienādību sistēmām, izmantojot zīmju likumus. Daļas zīmi nosaka skaitītāja un saucēja zīmju kombinācija:

f(x)g(x)>0\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0—daļa pozitīva, kad zīmes ir vienādas: abas (+)(+) vai (−)(-)
f(x)g(x)<0\dfrac{f(x)}{g(x)} < 0—daļa negatīva, kad zīmes ir dažādas
1
Zīme ir nestingra, tāpēc daļa var būt 00 vai pozitīva. Sadala divās sistēmās (vienādas zīmes):
{x+2≥0x−3>0vai{x+2≤0x−3<0\begin{cases} x+2 \geq 0 \\ x-3 > 0 \end{cases} \quad \text{vai} \quad \begin{cases} x+2 \leq 0 \\ x-3 < 0 \end{cases}
2
Atrisina katru sistēmu — meklē kopīgo daļu:
{x≥−2x>3⇒x∈(3; +∞)\begin{cases} x \geq -2 \\ x > 3 \end{cases} \Rightarrow x \in (3;\ +\infty){x≤−2x<3⇒x∈(−∞; −2]\begin{cases} x \leq -2 \\ x < 3 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty;\ -2]
3
Vārds “vai” nozīmē sistēmu atrisinājumu apvienojumu:
x∈(−∞; −2]∪(3; +∞)x \in ({\color{#1865f2}-\infty;\ -2}] \cup ({\color{#1865f2}3;\ +\infty})

Intervālu metode

Skaitītājs un saucējs maina zīmi tikai savās nullēs. Tāpēc pietiek atzīmēt šīs nulles uz ass un noteikt daļas zīmi katrā iegūtajā intervālā — tā ir intervālu metode.

Zīmes nolasa no zīmējuma: uz vienas ass skicē abus grafikus. Virs xx ass zīme ir pozitīva, zem ass — negatīva, bet daļas zīmi dod abu zīmju reizinājums.

Atrisināsim nevienādību 2x+2x−8≥1\dfrac{2x+2}{x-8} \geq 1

1
Pārnesam visu uz vienu pusi un savelkam vienā daļā — labajā pusē paliek nulle:
2x+2x−8−1≥0\dfrac{2x+2}{x-8} - 1 \geq 0
2x+2−(x−8)x−8≥0\dfrac{2x+2 - (x-8)}{x-8} \geq 0
x+10x−8≥0\dfrac{x+10}{x-8} \geq 0
2
Atrodam nulles. Skaitītāja nulle ir pildīta (zīme ≥\geq), saucēja nulle — tukša:
x+10=0 ⇒ x=−10x + 10 = 0 \ \Rightarrow \ x = -10
x−8≠0 ⇒ x≠8x - 8 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 8
3
Uz vienas ass skicējam abus grafikus. Abas izteiksmes ir lineāras un koeficients pie xx ir pozitīvs, tāpēc abas taisnes ir augošas un krusto asi savās nullēs:
4
Katrā intervālā nolasām abu taisņu zīmes un sareizinām tās. Vajag daļu ≥0\geq 0 — iekrāsojam intervālus ar zīmi (+)(+):
x∈(−∞; −10]∪(8; +∞)x \in ({\color{#1865f2}-\infty;\ -10}] \cup ({\color{#1865f2}8;\ +\infty})

Zīmi var noteikt arī analītiski, neskicējot grafikus: katrā intervālā izvēlas vienu pārbaudes skaitli, ievieto to skaitītājā un saucējā un nosaka tikai zīmi (skaitliskā vērtība nav svarīga). Rezultātu ērti sakārtot tabulā.

1
Atrod nulles. Zīme ir stingra, tāpēc abi punkti ir tukši:
x−2=0 ⇒ x=2x - 2 = 0 \ \Rightarrow \ x = 2
2x−1=0 ⇒ x=122x - 1 = 0 \ \Rightarrow \ x = \tfrac{1}{2}
2
Katrā intervālā nosaka skaitītāja, saucēja un daļas zīmi:
(−∞; 12)\left(-\infty;\ \tfrac{1}{2}\right)(12; 2)\left(\tfrac{1}{2};\ 2\right)(2; +∞)(2;\ +\infty)
x−2x-2−-−-++
2x−12x-1−-++++
x−22x−1\dfrac{x-2}{2x-1}++−-++
3
Vajag daļu <0< 0 — izvēlas intervālu ar zīmi (−)(-):
x∈(12; 2)x \in \left({\color{#1865f2}\tfrac{1}{2};\ 2}\right)
Lineāru un kvadrātnevienādību risināšana