Mācies Vieglāk
Pakāpes un progresijas

Skaitļu virknes

TeorijaUzdevumi

Kas ir skaitļu virkne

Virkne ir vienkārši saraksts ar skaitļiem noteiktā kārtībā — pirmais, otrais, trešais un tā tālāk. Katram virknes loceklim ir savs kārtas numurs.

Skaitļu virkneFunkcija, kuras definīcijas apgabals ir naturālo skaitļu kopa N\mathbb{N} vai kāda tās apakškopa.
1
Ievieto pēc kārtas n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4:
a1=3⋅1+1=4a_1 = 3 \cdot 1 + 1 = 4
a2=3⋅2+1=7a_2 = 3 \cdot 2 + 1 = 7
a3=3⋅3+1=10a_3 = 3 \cdot 3 + 1 = 10
a4=3⋅4+1=13a_4 = 3 \cdot 4 + 1 = 13
2
Pieraksti virkni:
4; 7; 10; 13; …{\color{#1865f2} 4;\ 7;\ 10;\ 13;\ \ldots}

Virknes locekļus parasti apzīmē ar mazajiem latīņu burtiem (ana_n, bnb_n, cnc_n), kur indekss apzīmē kārtas numuru.

Pieci veidi, kā uzdot virkni

Vienu un to pašu virkni var aprakstīt piecos dažādos veidos. Visi veidi ir derīgi — atkarībā no tā, kāda informācija mums ir un ko gribam izrēķināt.

Tabulā

Katram kārtas numuram blakus uzrakstīta tā locekļa vērtība.

nn1122334455
ana_n3377111115151919

Grafiski

Virknes locekļus attēlo kā atsevišķus punktus koordinātu plaknē — uz xx ass kārtas numurs, uz yy ass locekļa vērtība.

1234512345na0

Analītiski

Dod vispārīgā locekļa formulu an=f(n)a_n = f(n), kas ļauj uzreiz aprēķināt jebkuru locekli.

an=2n+1a_n = 2n + 1

Rekurenti

Dod pirmo(s) locekli un formulu, kas izsaka nākamo locekli ar iepriekšējo. Lai atrastu nn-to locekli, jāiziet cauri visiem iepriekšējiem.

a1=5a_1 = 5
an=an−1+4a_n = a_{n-1} + 4

Aprakstoši

Virkni nosaka ar vārdisku aprakstu — nosacījumu, kam locekļiem jāatbilst.

Virkne — visi naturālie skaitļi, kas dalās ar 3.

1
Ievieto kārtas numurus formulā:
c1=1+11=2c_1 = \tfrac{1+1}{1} = 2
c2=2+12=32c_2 = \tfrac{2+1}{2} = \tfrac{3}{2}
c3=3+13=43c_3 = \tfrac{3+1}{3} = \tfrac{4}{3}
2
Pieraksti virkni:
2; 32; 43; …{\color{#1865f2} 2;\ \tfrac{3}{2};\ \tfrac{4}{3};\ \ldots}
1
Soli pa solim aprēķini katru locekli:
a2=3⋅4−2=10a_2 = 3 \cdot 4 - 2 = 10
a3=3⋅10−2=28a_3 = 3 \cdot 10 - 2 = 28
a4=3⋅28−2=82a_4 = 3 \cdot 28 - 2 = 82
2
Atbilde:
a4=82a_4 = {\color{#1865f2} 82}
Nr.1122334455
ana_n551212883399
a1=5, a2=12, a3=8, a4=3{\color{#1865f2} a_1 = 5,\ a_2 = 12,\ a_3 = 8,\ a_4 = 3}

Pieraksti pēc kārtas mazākos naturālos skaitļus, kas dalās ar 7.

7; 14; 21; 28; 35; …{\color{#1865f2} 7;\ 14;\ 21;\ 28;\ 35;\ \ldots}

Fibonači virkne

Slavenā Fibonači virkne ir rekurenti uzdota: tās pirmie divi locekļi ir doti, bet katru nākamo iegūst, saskaitot divus iepriekšējos. Tāpēc, lai aprēķinātu kādu locekli, vispirms jāzina abi pirms tā esošie.

Fibonači virkneVirkne, kuras pirmie divi locekļi ir 11, un katrs nākamais ir divu iepriekšējo summa.
F1=1,F2=1,Fn=Fn−1+Fn−2F_1 = 1,\quad F_2 = 1,\quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2}
1
Sāc ar diviem doto pirmajiem locekļiem:
F1=1,F2=1F_1 = 1,\quad F_2 = 1
2
Katru nākamo iegūst kā divu iepriekšējo summu:
F3=1+1=2F_3 = 1 + 1 = 2
F4=1+2=3F_4 = 1 + 2 = 3
F5=2+3=5F_5 = 2 + 3 = 5
…turpinot peˉc taˉ pasˇa likuma…\ldots \text{turpinot pēc tā paša likuma} \ldots
3
Pirmie desmit locekļi:
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; …{\color{#1865f2} 1;\ 1;\ 2;\ 3;\ 5;\ 8;\ 13;\ 21;\ 34;\ 55;\ \ldots}
Pakāpe ar daļveida kāpinātājuAritmētiskā progresija