Mācies Vieglāk
Sinuss un kosinuss

Sinusu un kosinusu teorēma

TeorijaUzdevumi

Sinusu teorēma

Patvaļīgam trijstūrim malas un leņķus saista sinusu teorēma: trijstūra malas ir proporcionālas pretējo leņķu sinusiem. Izmanto, kad zināmi 2 leņķi un 1 mala vai 2 malas un 1 leņķis (pretī vienai no tām).

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

a,b,ca, b, c — malas A,B,CA, B, C — pretī esošie leņķi

abcABC
30°45°20ABC
1
Pierakstām proporciju:
BCsin⁡A=ACsin⁡B  ⟹  BCsin⁡30∘=20sin⁡45∘\displaystyle \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \implies \frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{20}{\sin 45^\circ}
2
Atrisinām:
BC=20⋅sin⁡30∘sin⁡45∘=20⋅1222=102≈14,1 cm\displaystyle BC = \frac{20 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{20 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = {\color{#1865f2} 10\sqrt{2} \approx 14{,}1 \text{ cm}}

Kosinusu teorēma

Saista trijstūra trīs malas ar vienu leņķi. Izmanto, kad zināmas 2 malas un starpā iekļautais leņķis vai visas 3 malas (leņķa atrašanai). Tas ir Pitagora teorēmas vispārinājums patvaļīgam trijstūrim.

a2=b2+c2−2bc⋅cos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A

aa — meklējamā mala AA — pretī esošais leņķis

abcABC
120°35ABC
1
Pierakstām formulu (meklējam ACAC, pretī ∠B\angle B):
AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡BAC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B
2
Aizstājam vērtības:
AC2=9+25−2⋅3⋅5⋅cos⁡120∘=34−30⋅(−12)=34+15=49AC^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 34 - 30 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) = 34 + 15 = 49
3
Rezultāts:
AC=7 cmAC = {\color{#1865f2} 7 \text{ cm}}
?648ABC
1
Atrodam lielāko leņķi:

Lielākais leņķis ir pretī garākajai malai (8 cm). Apzīmējam to ar BB.

2
Izsakām kosinusu:
b2=a2+c2−2ac⋅cos⁡Bb^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B64=16+36−48⋅cos⁡B64 = 16 + 36 - 48 \cdot \cos Bcos⁡B=16+36−6448=−121484=−14\displaystyle \cos B = \frac{16 + 36 - 64}{48} = -\frac{\cancel{12}^{1}}{\cancel{48}^{4}} = -\frac{1}{4}
3
Izsakām leņķi B:
cos⁡B=−14  ⟹  B=arccos⁡ ⁣(−14)≈104,5∘\cos B = {\color{#1865f2} -\tfrac{1}{4}} \implies B = \arccos\!\left(-\tfrac{1}{4}\right) \approx {\color{#1865f2} 104{,}5^\circ}

Arcsin un arccos

Ja ir zināma sinusa vai kosinusa vērtība un tev jāatrod leņķis, izmanto apgriezto darbību — arcsin un arccos. Praksē leņķi parasti aprēķina ar kalkulatoru.

sin⁡A=x  ⟹  A=arcsin⁡x\sin A = x \implies A = \arcsin x
cos⁡A=x  ⟹  A=arccos⁡x\cos A = x \implies A = \arccos x
A=arcsin⁡12=30∘A = \arcsin \tfrac{1}{2} = {\color{#1865f2} 30^\circ}
A=arccos⁡(−0,65)≈130,5∘A = \arccos(-0{,}65) \approx {\color{#1865f2} 130{,}5^\circ}
Sinusa un kosinusa grafiki