Mācies Vieglāk
Trigonometriskās izteiksmes

Argumentu summas un starpības

TeorijaUzdevumi

Argumentu summas un starpības formulas

Instinkts saka: sin⁡(α+β)=sin⁡α+sin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta. Tas ir nepareizi. Pareizā paplašināšana ir netriviāla — un ļoti bieži sastopama uzdevumos, kur jāaprēķina konkrēti leņķi.

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βsin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\begin{aligned}\sin(\alpha + \beta) &= \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha - \beta) &= \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta\end{aligned}
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βcos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\begin{aligned}\cos(\alpha + \beta) &= \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \\ \cos(\alpha - \beta) &= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\end{aligned}
1
Izteikt 15∘15^\circ caur zināmiem leņķiem:
15∘=45∘−30∘15^\circ = 45^\circ - 30^\circ
2
Pielietot kosinusa starpības formulu:
cos⁡(45∘−30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘\cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ
3
Ievietot vērtības:
=22⋅32+22⋅12=64+24= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}
4
Atbilde:
cos⁡15∘=6+24\cos 15^\circ = {\color{#1865f2} \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}
1
Izteikt 105∘105^\circ caur zināmiem leņķiem:
105∘=60∘+45∘105^\circ = 60^\circ + 45^\circ
2
Pielietot sinusa summas formulu:
sin⁡(60∘+45∘)=sin⁡60∘cos⁡45∘+cos⁡60∘sin⁡45∘\sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ
3
Ievietot vērtības:
=32⋅22+12⋅22=64+24= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}
4
Atbilde:
sin⁡105∘=6+24\sin 105^\circ = {\color{#1865f2} \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}

Divkāršā argumenta formulas

Šīs kompaktās formulas izsaka sin⁡2x\sin 2x un cos⁡2x\cos 2x ar sākotnējo leņķi. Sinusam ir tikai viena forma.

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x

Kosinusam ir trīs ekvivalentas formas — kuru izvēlēties, atkarīgs no uzdevuma:

cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x
cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x
cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x = 2\cos^2 x - 1
1
Izteikt caur zināmiem leņķiem:
75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ
2
Pielietot sinusa summas formulu:
sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ
3
Ievietot vērtības:
=22⋅32+22⋅12=64+24= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4}
4
Atbilde:
sin⁡75∘=6+24\sin 75^\circ = {\color{#1865f2} \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}
1
Aizstāt sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x:
sin⁡2xsin⁡x=2sin⁡xcos⁡xsin⁡x\dfrac{\sin 2x}{\sin x} = \dfrac{2\sin x \cos x}{\sin x}
2
Saīsināt ar sin⁡x\sin x:
2sin⁡xcos⁡xsin⁡x=2cos⁡x\dfrac{2\cancel{\sin x} \cos x}{\cancel{\sin x}} = {\color{#1865f2} 2\cos x}
1
Aizstāt cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x skaitītājā:
1−cos⁡2x=1−(1−2sin⁡2x)=2sin⁡2x1 - \cos 2x = 1 - (1 - 2\sin^2 x) = 2\sin^2 x
2
Aizstāt sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x saucējā:
1−cos⁡2xsin⁡2x=2sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x\dfrac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} = \dfrac{2\sin^2 x}{2\sin x \cos x}
3
Saīsināt ar 2sin⁡x2\sin x:
2sin⁡x⋅sin⁡x2sin⁡x⋅cos⁡x=sin⁡xcos⁡x\dfrac{\cancel{2\sin x} \cdot \sin x}{\cancel{2\sin x} \cdot \cos x} = \dfrac{\sin x}{\cos x}
4
Atbilde:
1−cos⁡2xsin⁡2x=tan⁡x\dfrac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} = {\color{#1865f2} \tan x}
Trigonometriskā pamatidentitāteTrigonometriskie pamatvienādojumi