Mācies Vieglāk
Pakāpes un progresijas

Aritmētiskā progresija

TeorijaUzdevumi

Definīcija

Aritmētiskā progresija aug "vienmērīgi" — katrs nākamais loceklis ir par vienu un to pašu skaitli lielāks (vai mazāks) nekā iepriekšējais. Šo skaitli sauc par diferenci.

Aritmētiskā progresijaVirkne, kurā katru nākamo locekli iegūst, iepriekšējam pieskaitot vienu un to pašu skaitli dd.
DiferenceSkaitlis dd, kas ir starpība starp jebkuriem diviem secīgiem locekļiem.
an+1=an+da_{n+1} = a_n + d

Diference dd var būt pozitīva (virkne aug) vai negatīva (virkne dilst).

Vispārīgā locekļa formula

Lai atrastu, piemēram, 50. locekli, nav jāiziet cauri visiem 49
iepriekšējiem — pietiek ar vienu formulu.

an=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n - 1) \cdot d

a1a_1 — pirmais loceklis dd — diference nn — kārtas numurs

1
Identificē pirmo locekli un diferenci:
a1=3,d=7−3=4a_1 = 3,\quad d = 7 - 3 = 4
2
Ievieto formulā:
a10=3+(10−1)⋅4=3+36=39a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot 4 = 3 + 36 = {\color{#1865f2} 39}

Vidējā locekļa īpašība

Jebkurš AP loceklis (izņemot pirmo un pēdējo) ir tieši savu kaimiņu vidējais aritmētiskais.

an=an−1+an+12,n≥2a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2},\quad n \geq 2
1
a5a_5 ir savu kaimiņu vidējais aritmētiskais:
a5=a4+a62a_5 = \dfrac{a_4 + a_6}{2}
2
Ievieto vērtības un aprēķini:
a5=12+202=321621=16a_5 = \dfrac{12 + 20}{2} = \dfrac{\cancel{32}^{16}}{\cancel{2}^{1}} = {\color{#1865f2} 16}

Pirmo n locekļu summa

Lai saskaitītu, piemēram, pirmos simts AP locekļus, nav jāveic 99 saskaitīšanas operācijas — pietiek ar vienu formulu.

Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

a1a_1 — pirmais loceklis ana_n — nn-tais (pēdējais) loceklis nn — locekļu skaits

1
Atrodi pēdējo locekli a100a_{100}:
a100=a1+(100−1)d=3+99⋅4=399a_{100} = a_1 + (100 - 1)d = 3 + 99 \cdot 4 = 399
2
Ievieto summas formulā:
S100=(3+399)⋅1002S_{100} = \dfrac{(3 + 399) \cdot 100}{2}
3
Aprēķini:
S100=402⋅1002=20100S_{100} = \dfrac{402 \cdot 100}{2} = {\color{#1865f2} 20100}

Uzdevums no dzīves

AP summas formula ir noderīga visur, kur kaut kas notiek "ar vienmērīgu pieaugumu pa soļiem". Zemāk vari redzēt uzdevuma piemēru par sportistu, kurš katru dienu noskrien arvien vairāk.

Sportists pirmajā treniņa dienā noskrien 1500 m. Katru nākamo dienu viņš noskrien par 200 m vairāk nekā iepriekšējā. Cik kilometru kopā viņš noskrien 8 dienās?

1
Identificē zināmās vērtības:
a1=1500 m,d=200 m,n=8a_1 = 1500 \text{ m},\quad d = 200 \text{ m},\quad n = 8
2
Atrodi pēdējo locekli:
a8=1500+7⋅200=1500+1400=2900 ma_8 = 1500 + 7 \cdot 200 = 1500 + 1400 = 2900 \text{ m}
3
Aprēķini summu:
S8=(1500+2900)⋅82=4400⋅82=17600 mS_8 = \dfrac{(1500 + 2900) \cdot 8}{2} = \dfrac{4400 \cdot 8}{2} = 17600 \text{ m}
4
Pārveido kilometros:
17600 m=17,6 km17600 \text{ m} = {\color{#1865f2} 17{,}6 \text{ km}}
Skaitļu virknesĢeometriskā progresija