Mācies Vieglāk
Eksponentfunkcija

Pamatnevienādības

TeorijaUzdevumi

Skaitļu intervāli

Atrisinājumu pieraksta kā skaitļu intervālu. Iekavas veids atbilst punktam uz ass, un bezgalība ∞\infty vienmēr ir kopā ar apaļo iekavu:

(a; b)(a;\ b)
(−∞; a](-\infty;\ a]

Pieraksts x∈(−∞; +∞)x \in (-\infty;\ +\infty) nozīmē jebkuru reālu skaitli, tas ir, x∈Rx \in \mathbb{R}.

Lineāra nevienādība

Risina tāpat kā lineāru vienādojumu: nezināmos vienā pusē, skaitļus otrā, un izsaka xx. Neaizmirsti par zīmes maiņu, ja dala ar negatīvu skaitli.

Atrisināsim nevienādību −6x≤−18-6x \leq -18

1
Dalām abas puses ar −6-6. Dalām ar negatīvu skaitli — zīme mainās:
x≥3x \geq {\color{#1865f2}3}
2
Nevienādība ir nestingra, tāpēc punkts ir iekrāsots:
x∈[3; +∞)x \in [{\color{#1865f2}3;\ +\infty})
1
Pārnesam 2 uz labo pusi:
3x>93x > 9
2
Dalām abas puses ar 33:
x>3x > {\color{#1865f2}3}
3
Nevienādība ir stingra, tāpēc punkts ir tukšs:
x∈(3; +∞)x \in ({\color{#1865f2}3;\ +\infty})
1
Pārnesam 4 uz labo pusi:
−2x≥−10-2x \geq -10
2
Dalām abas puses ar −2-2:
x≤5x \leq {\color{#1865f2}5}
3
Nevienādība ir nestingra, tāpēc punkts ir iekrāsots:
x∈(−∞; 5]x \in (-\infty;\ {\color{#1865f2}5}]

Kvadrātnevienādības

Nevienādību ax2+bx+c>0ax^2 + bx + c > 0 risina, aptuveni uzskicējot parabolu y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c un nolasot, kur tās vērtības ir pozitīvas un kur — negatīvas.

Atrisināsim kvadrātnevienādību x2−5x<−6x^2 - 5x < -6

1
Pārnesam visu uz vienu pusi:
x2−5x+6<0x^2 - 5x + 6 < 0
2
Atrodam saknes no x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0. Pēc Vjeta teorēmas::
x1=2,x2=3x_1 = 2, \quad x_2 = 3
3
Zari uz augšu (a=1>0a = 1 > 0), punkti tukši (zīme stingra). Vajag daļu, kur parabola ir zem ass, tātad starp saknēm:
x∈(2; 3)x \in ({\color{#1865f2}2;\ 3})
1
Atrodam saknes no x2−4=0x^2 - 4 = 0:
x1=−2,x2=2x_1 = -2, \quad x_2 = 2
2
Zari uz augšu (a=1>0a = 1 > 0), punkti tukši (zīme stingra). Vajag daļu, kur parabola ir virs ass, tātad ārpus saknēm:
x∈(−∞; −2)∪(2; +∞)x \in (-\infty;\ {\color{#1865f2}-2}) \cup ({\color{#1865f2}2};\ +\infty)
1
Reizinām abas puses ar -1, lai koeficients pie x² būtu pozitīvs. Zīme mainās:
x2−2x−3≤0x^2 - 2x - 3 \leq 0
2
Atrodam saknes no x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0. Pēc Vjeta teorēmas::
x1=−1,x2=3x_1 = -1, \quad x_2 = 3
3
Zari uz augšu (a=1>0a = 1 > 0), punkti iekrāsoti (zīme nestingra). Vajag daļu, kur parabola ir zem vai uz ass, tātad starp saknēm ieskaitot:
x∈[−1; 3]x \in [{\color{#1865f2}-1;\ 3}]

Daļveida nevienādības — intervālu metode

Daļveida nevienādību (mainīgais saucējā) risina ar intervālu metodi: atrodam skaitītāja un saucēja nulles, tad nosakām daļas zīmi katrā intervālā. Saucēja nulles vienmēr ir tukši punkti.

Atrisināsim nevienādību x−1x+3>0\dfrac{x-1}{x+3} > 0

1
Atrodam nulles. Zīme ir stingra, tāpēc abi punkti ir tukši:
x−1=0 ⇒ x=1x - 1 = 0 \ \Rightarrow \ x = 1
x+3≠0 ⇒ x≠−3x + 3 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq -3
2
Abas izteiksmes ir lineāras ar pozitīvu koeficientu pie x, tāpēc abas taisnes ir augošas un krusto asi savās nullēs. Uz vienas ass skicējam abas taisnes:
3
Katrā intervālā nolasām abu taisņu zīmes un sareizinām tās. Vajag daļu >0> 0 — iekrāsojam intervālus ar zīmi (+)(+):
x∈(−∞; −3)∪(1; +∞)x \in ({\color{#1865f2}-\infty;\ -3}) \cup ({\color{#1865f2}1;\ +\infty})
1
Atrodam nulles. Skaitītāja nulle iekrāsota, saucēja — vienmēr tukša:
x+2=0 ⇒ x=−2x + 2 = 0 \ \Rightarrow \ x = -2
x−4≠0 ⇒ x≠4x - 4 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 4
2
Abas taisnes augošas, krusto asi savās nullēs. Skicējam uz vienas ass:
3
Sareizinām taisņu zīmes katrā intervālā. Vajag ≤0\leq 0 — zīme (−)(-), plus iekrāsotais punkts:
x∈[−2; 4)x \in [{\color{#1865f2}-2;\ 4})
1
Atrodam nulles. Zīme stingra, abi punkti tukši:
2x−6=0 ⇒ x=32x - 6 = 0 \ \Rightarrow \ x = 3
x+1≠0 ⇒ x≠−1x + 1 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq -1
2
Abas taisnes augošas, krusto asi savās nullēs. Skicējam uz vienas ass:
3
Sareizinām taisņu zīmes katrā intervālā. Vajag >0> 0 — zīme (+)(+):
x∈(−∞; −1)∪(3; +∞)x \in ({\color{#1865f2}-\infty;\ -1}) \cup ({\color{#1865f2}3;\ +\infty})
EksponentvienādojumiEksponentnevienādības