Mācies Vieglāk
Kombinatorika un varbūtība

Klasiskā varbūtība

TeorijaUzdevumi

Varbūtības jēdziens

Varbūtība ir skaitlis, kas raksturo, cik ticama ir notikuma iestāšanās gadījuma mēģinājumā. Tā vienmēr atrodas intervālā no 0 līdz 1: jo lielāka varbūtība, jo ticamāks notikums.

Gadījuma mēģinājumsDarbība, kuras rezultātu iepriekš nevar paredzēt (monētas metiens, kauliņa mešana).
Iznākumu kopa Ω\Omegavisu iespējamo rezultātu kopa. Metot kauliņu: Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}\Omega = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}

Klasiskā varbūtība

Ja visi iznākumi ir vienlīdz iespējami, varbūtību aprēķina pēc klasiskās definīcijas — labvēlīgo iznākumu skaitu dala ar visu iznākumu skaitu.

P(A)=mnP(A) = \frac{m}{n}

mm — notikumam AA labvēlīgo iznākumu skaits nn — visu iespējamo iznākumu skaits

0≤P(A)≤10 \leq P(A) \leq 1
P=1P = 1—Drošs notikums
0<P<10 < P < 1—Gadījuma notikums
P=0P = 0—Neiespējams notikums

Iznākumu kopa: Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, tātad n=6n = 6. Labvēlīgie iznākumi (pāra skaitļi): {2,4,6}\{2, 4, 6\}, tātad m=3m = 3.

P(A)=mn=3162=12\displaystyle P(A) = \frac{m}{n} = \frac{\cancel{3}^{1}}{\cancel{6}^{2}} = {\color{#1865f2} \frac{1}{2}}

Pretējā notikuma varbūtība

Katram notikumam AA ir pretējais notikums Aˉ\bar{A} — tas iestājas tieši tad, kad AA neiestājas. Kopā to varbūtības vienmēr dod 1.

P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Aˉ\bar{A} — notikuma AA pretējais notikums

Kāda ir varbūtība, ka viņš netrāpa?

P(Aˉ)=1−P(A)=1−0,6=0,4P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}6 = {\color{#1865f2} 0{,}4}

Ģeometriskā varbūtība

Ja iznākumu ir bezgalīgi daudz (piemēram, punkts plaknē), klasiskā definīcija nedarbojas. Tad varbūtību nosaka ar laukumu (vai tilpumu) attiecību.

Plaknē
P(A)=S(g)S(G)P(A) = \frac{S(g)}{S(G)}

gg — mazākā figūra
GG — lielākā figūra

Telpā
P(A)=V(g)V(G)P(A) = \frac{V(g)}{V(G)}

gg — mazākais ķermenis
GG — lielākais ķermenis

Kāda ir varbūtība, ka nejauši ielikts punkts riņķī atradīsies arī kvadrātā?

1
Aprēķina laukumus:
S(g)=a2=22=4 cm2S(g) = a^2 = 2^2 = 4 \text{ cm}^2
S(G)=πR2=π⋅52=25π cm2S(G) = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ cm}^2
2
Varbūtība:
P(A)=S(g)S(G)=425π≈0,051\displaystyle P(A) = \frac{S(g)}{S(G)} = \frac{4}{25\pi} {\color{#1865f2} \approx 0{,}051}

Statistiskā varbūtība

Kad nevaram teorētiski noteikt labvēlīgos iznākumus, izmantojam eksperimentu datus. Jo vairāk mēģinājumu, jo precīzāks ir novērojums.

W(A)=mk≈P(A)W(A) = \frac{m}{k} \approx P(A)

mm — reizes, kad AA iestājās kk — kopējais mēģinājumu skaits

W(A)=mk=280300≈0,93=93%W(A) = \dfrac{m}{k} = \dfrac{280}{300} {\color{#1865f2} \approx 0{,}93 = 93\%}
Permutācijas, variācijas, kombinācijasVarbūtību likumi