Mācies Vieglāk
Kombinatorika un varbūtība

Permutācijas, variācijas, kombinācijas

TeorijaUzdevumi

Permutācijas

Cik dažādos veidos var sakārtot visus elementus? Katrs sakārtojums, kur secība ir svarīga, ir permutācija.

Pn=n!P_n = n!

nn — kopējais elementu skaits

1
Bez nosacījuma:
P6=6!=720 veidiP_6 = 6! = 720 \text{ veidi}
2
Sakārtojumi, kur AA ir 1. vietā (nederīgie):

Fiksējam A 1. vietā. Meklējam, cik veidos var sakārtot atlikušās 5 komandas.

P5=5!=120 veidiP_5 = 5! = 120 \text{ veidi}
3
Atbilstošie sakārtojumi:
720−120=600 veidi720 - 120 = {\color{#1865f2} 600 \text{ veidi}}

Variācijas

Bieži no liela skaita elementu jāizvēlas tikai daži — un to kārtībai ir nozīme (piemēram, PIN kods vai godalgotās vietas). Tādus sakārtotus izvēles saucam par variācijām.

Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

nn — kopējais elementu skaits kk — izvēlēto elementu skaits

(Secība svarīga: 23 ≠ 32)

A52=5!(5−2)!=5!3!=5⋅4⋅3!3!=5⋅4=20 dazˇaˉdi skaitl¸i\displaystyle A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!}} = 5 \cdot 4 = {\color{#1865f2} 20 \text{ dažādi skaitļi}}

Kombinācijas

Ja kārtībai nav nozīmes — piemēram, izvēloties komisijas locekļus vai komandas sastāvu — lieto kombinācijas.{A, B, C} un {C, B, A} ir viena un tā pati izvēle.

Cnk=n!k! (n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

nn — kopējais elementu skaits kk — izvēlēto elementu skaits

Kombinācija ir variācija, dalīta ar sakārtojumu skaitu: Cnk=AnkPk=Ankk!\displaystyle C_n^k = \frac{A_n^k}{P_k} = \frac{A_n^k}{k!}

Lieto kombināciju formulu (n=12, k=3n=12,\ k=3):
C123=12!3!⋅9!=12⋅11⋅103⋅2⋅1=132022061=220 komisijas sastaˉvi\displaystyle C_{12}^3 = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{\cancel{1320}^{220}}{\cancel{6}^{1}} = {\color{#1865f2} 220 \text{ komisijas sastāvi}}

Kopsavilkums

Permutācijas—
Pn=n!P_n = n!
Variācijas—
Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}
Kombinācijas—
Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}
Kombinatorikas ievadsKlasiskā varbūtība