Konuss

Konusam ir viens pamats — riņķis ar rādiusu $R$ — un viena virsotne. Pamatu ar virsotni savieno izliekta sānu virsma, bet nogriezni no virsotnes līdz pamata riņķa līnijai sauc par veiduli $l$ .

Konuss — ir rotācijas ķermenis, ko iegūst, taisnleņķa trijstūrim rotējot ap vienu no tā katetēm.

Noklikšķini uz kāda no elementiem sarakstā zemāk, lai attēlā to iezīmētu:

Rādiuss $R$ , augstums $H$ un veidule $l$ veido taisnleņķa trijstūri, tāpēc starp tiem spēkā ir Pitagora teorēma — veidule ir hipotenūza, bet rādiuss un augstums ir katetes:

l^2 = R^2 + H^2

Konusa aksiālšķēlums

Konusa aksiālšķēlums vienmēr ir vienādsānu trijstūris: pamats ir konusa diametrs $2R$ , bet abi sāni ir veidules $l$ .

Ja konusa aksiālšķēlums ir vienādmalu trijstūris, tad konusu sauc par vienādmalu konusu — tā veidule ir vienāda ar pamata diametru: $l = 2R$ .

l = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25}

H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25}

Konusa sānu virsma un tilpums

Iedomājies, ka konusa sānu virsmu izloka vienā plaknē — sanāk riņķa sektors. Tā rādiuss ir konusa veidule $l$ , bet loka garums — pamata riņķa līnijas garums $2\pi R$ . Tāpēc sānu virsmas laukumu aprēķina pēc formulas:

S_{\text{sānu}} = \pi R l

Konusa pilnas virsmas laukumu veido sānu virsma un pamats — riņķis ar laukumu $\pi R^2$ , tāpēc:

S_{\text{pilna}} = \pi R l + \pi R^2 = \pi R (l + R)

Konusa tilpumu iegūst, reizinot pamata laukumu $\pi R^2$ ar augstumu $H$ un dalot ar 3:

V = \tfrac{1}{3}\pi R^2 H

S_{\text{sānu}} = \pi R l = \pi \cdot 3 \cdot 5

S_{\text{pilna}} = \pi R(l + R)

V = \tfrac{1}{3}\pi R^2 H = \tfrac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 4

Nošķelts konuss

Ja konusam ar pamatam paralēlu plakni nogriež virsotni, atlikušo daļu sauc par nošķeltu konusu. To iegūst, taisnleņķa trapecei rotējot ap īsāko sānu malu.

Uzdevumos bieži pietiek uzzīmēt tikai aksiālšķēlumu — tā ir vienādsānu trapece, kuras pamati ir $2R$ un $2r$ , sāni — veidules $l$ , bet augstums ir attālums starp pamatiem $H$ :

Sānu virsmas laukumu un tilpumu aprēķina pēc formulām, kur $R$ un $r$ ir pamatu rādiusi, $l$ — veidule, bet $H$ — augstums:

S_{\text{sānu}} = \pi l (R + r)

V = \tfrac{1}{3}\pi H (R^2 + R r + r^2)

l = \sqrt{H^2 + (R - r)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = {\color{#1865f2}5\ \text{cm}}