Mācies Vieglāk
Kombinatorika un varbūtība

Varbūtību likumi

TeorijaUzdevumi

Summas varbūtība

Cik liela ir varbūtība, ka iestājas vismaz viens no diviem notikumiem? Atbilde atkarīga no tā, vai notikumi viens otru izslēdz vai nē.

Izslēdzoši notikumi

Nevar iestāties vienlaikus
(uz kauliņa uzkrīt 3 vai 5)

P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)
Saderīgi notikumi

Var iestāties vienlaikus
(metot 2 monētas — vismaz 1 "cipars")

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

AA — uzkrīt 3; BB — uzkrīt 5.
Notikumi ir savstarpēji izslēdzoši.

P(A)=16P(A) = \tfrac{1}{6}, P(B)=16P(B) = \tfrac{1}{6}

P(A∪B)=P(A)+P(B)=P(A \cup B) = P(A) + P(B) =
  16+16=13\; \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} = {\color{#1865f2} \tfrac{1}{3}}

AA — pirmā monēta rāda ciparu; BB — otrā monēta rāda ciparu. Notikumi ir saderīgi.

P(A)=12P(A) = \tfrac{1}{2}, P(B)=12P(B) = \tfrac{1}{2}, P(A∩B)=14P(A \cap B) = \tfrac{1}{4}

P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)
  −P(A∩B)=12+12−14=34\; - P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} = {\color{#1865f2} \tfrac{3}{4}}

Nosacītā varbūtība

Ja zinām, ka kāds notikums jau ir iestājies, tas var mainīt cita notikuma varbūtību. Šādu varbūtību sauc par nosacīto varbūtību.

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

P(B)≠0P(B) \neq 0

1
Atrod P(D∩S)P(D \cap S) — sarkana dāma, sarkanās dāmas ir 2 (♥ un ♦)::
P(D∩S)=252\displaystyle P(D \cap S) = \frac{2}{52}
2
Atrod P(S)P(S) — sarkana kārts, sarkano kāršu ir 26::
P(S)=261522=12\displaystyle P(S) = \frac{\cancel{26}^{1}}{\cancel{52}^{2}} = \frac{1}{2}
3
Lieto formulu:
P(D∣S)=P(D∩S)P(S)=2522652=212613=113\displaystyle P(D \mid S) = \frac{P(D \cap S)}{P(S)} = \frac{\tfrac{2}{52}}{\tfrac{26}{52}} = \frac{\cancel{2}^{1}}{\cancel{26}^{13}} = {\color{#1865f2} \frac{1}{13}}

Reizināšanas teorēma

Kāda ir varbūtība, ka iestājas abi notikumi — gan A,A, gan BB? Atbilde atkarīga no tā, vai notikumi ir neatkarīgi vai atkarīgi.

Neatkarīgi notikumi

Viens notikums neietekmē otru

 P(A∩B)=P(A)⋅P(B)\ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
Atkarīgi notikumi

Pirmais notikums ietekmē otro

 P(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)\ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)
1
Monēta rāda ciparu:
P(C)=12\displaystyle P(C) = \frac{1}{2}
2
Kauliņam uzkrīt 6:
P(6)=16\displaystyle P(6) = \frac{1}{6}
3
Neatkarīgiem notikumiem varbūtības reizina:
P(C∩6)=P(C)⋅P(6)=P(C \cap 6) = P(C) \cdot P(6) =
  12⋅16=112\displaystyle \; \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = {\color{#1865f2} \frac{1}{12}}
1
Pirmā lodīte ir sarkana:
P(S1)=79\displaystyle P(S_1) = \frac{7}{9}
2
Otrā ir zila, ja pirmā bija sarkana (paliek 8 lodītes: 2 zilas):
P(Z2∣S1)=2184=14\displaystyle P(Z_2 \mid S_1) = \frac{\cancel{2}^{1}}{\cancel{8}^{4}} = \frac{1}{4}
3
Reizināšanas teorēma:
P(S1∩Z2)=P(S1)⋅P(Z2∣S1)=79⋅14=736\displaystyle P(S_1 \cap Z_2) = P(S_1) \cdot P(Z_2 \mid S_1) = \frac{7}{9} \cdot \frac{1}{4} = {\color{#1865f2} \frac{7}{36}}

Kā atpazīt atkarīgus notikumus?

Galvenā pazīme: vai pirmais rezultāts maina kopējo skaitu vai saturu nākamajam izmēģinājumam?
Neatkarīgi — bumbiņa izvilkta un atlikta atpakaļ; divi atsevišķi grozi; monētas metieni
Atkarīgi — bumbiņa izvilkta un netiek atlikta atpakaļ; kārtis no kāršu kava

Klasiskā varbūtība