Mācies Vieglāk
Sinuss un kosinuss

Radiāni

TeorijaUzdevumi

Radiāni

Grādi ir tikai vienošanās — pilns aplis sadalīts 360360 daļās. Radiāni leņķi mēra pašu riņķa garumā: cik rādiusu garš ir loks. Tas ir dabiskāks mērs, tāpēc augstākajā matemātikā un fizikā leņķus parasti pieraksta tieši radiānos.

Radiāns

Leņķis, kuram atbilstošais loks ar garumu 1 rādiuss RR. Pilnā riņķī ietilpst 2π2\pi šādu loku, tāpēc 2π2\pi rad =360∘.= 360^\circ.

ORRR
360∘=2π rad360^\circ = 2\pi \text{ rad}

Galvenā attiecība

Grādi → Radiāni
αrad=α∘⋅π180\alpha_{\text{rad}} = \alpha_\circ \cdot \frac{\pi}{180}
Radiāni → Grādi
α∘=αrad⋅180π\alpha_\circ = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180}{\pi}
Grādi30∘30^\circ45∘45^\circ60∘60^\circ90∘90^\circ180∘180^\circ270∘270^\circ
Radiāniπ6\dfrac{\pi}{6}π4\dfrac{\pi}{4}π3\dfrac{\pi}{3}π2\dfrac{\pi}{2}π\pi3π2\dfrac{3\pi}{2}
1
Ievieto formulā:
αrad=120⋅π180\alpha_{\text{rad}} = 120 \cdot \dfrac{\pi}{180}
2
Saīsini daļu:
αrad=120π180=1202π1803=2π3\alpha_{\text{rad}} = \dfrac{120\pi}{180} = \dfrac{\cancel{120}^{2}\pi}{\cancel{180}^{3}} = {\color{#1865f2} \dfrac{2\pi}{3}}
1
Ievieto formulā:
α∘=3π4⋅180π\alpha_\circ = \dfrac{3\pi}{4} \cdot \dfrac{180}{\pi}
2
Saīsini un izrēķini:
α∘=3⋅1804=135∘\alpha_\circ = \dfrac{3 \cdot 180}{4} = {\color{#1865f2} 135^\circ}

Radiāni uz vienības riņķa

Tos pašus galapunktus uz vienības riņķa var apzīmēt arī ar radiāniem — katra grādu vērtība atbilst noteiktai π\pi daļai. Riņķi lieto tieši tāpat: leņķi atliek no pozitīvās OxOx ass, tikai pierakstā grādu vietā ir radiāni.

cos⁡α\cos\alpha
sin⁡α\sin\alpha
1−11−10
−32-\tfrac{\sqrt3}{2}
−32-\tfrac{\sqrt3}{2}
−22-\tfrac{\sqrt2}{2}
−22-\tfrac{\sqrt2}{2}
−12-\tfrac12
−12-\tfrac12
12\tfrac12
12\tfrac12
22\tfrac{\sqrt2}{2}
22\tfrac{\sqrt2}{2}
32\tfrac{\sqrt3}{2}
32\tfrac{\sqrt3}{2}
00
π6\tfrac{\pi}{6}
π4\tfrac{\pi}{4}
π3\tfrac{\pi}{3}
π2\tfrac{\pi}{2}
2π3\tfrac{2\pi}{3}
3π4\tfrac{3\pi}{4}
5π6\tfrac{5\pi}{6}
π\pi
7π6\tfrac{7\pi}{6}
5π4\tfrac{5\pi}{4}
4π3\tfrac{4\pi}{3}
3π2\tfrac{3\pi}{2}
5π3\tfrac{5\pi}{3}
7π4\tfrac{7\pi}{4}
11π6\tfrac{11\pi}{6}
1
Nosakām kvadrantu:

π<5π4<3π2\pi < \dfrac{5\pi}{4} < \dfrac{3\pi}{2} → III kvadrants.

2
Nosakām pozīciju III kvadrantā:
5π4=π+π4\dfrac{5\pi}{4} = \pi + {\color{#1865f2} \dfrac{\pi}{4}}

Leņķa galapunkts ir π4\tfrac{\pi}{4} aiz III kvadranta sākuma.

xy0
00
π6\tfrac{\pi}{6}
π4\tfrac{\pi}{4}
π3\tfrac{\pi}{3}
π2\tfrac{\pi}{2}
2π3\tfrac{2\pi}{3}
3π4\tfrac{3\pi}{4}
5π6\tfrac{5\pi}{6}
π\pi
7π6\tfrac{7\pi}{6}
5π4\tfrac{5\pi}{4}
4π3\tfrac{4\pi}{3}
3π2\tfrac{3\pi}{2}
5π3\tfrac{5\pi}{3}
7π4\tfrac{7\pi}{4}
11π6\tfrac{11\pi}{6}
5π4\tfrac{5\pi}{4}
1
Nosakām virzienu:

Leņķis ir negatīvs → mēra pulksteņa rādītāja virzienā no 00.

2
Atrodam galapunktu:
−π6=2π−π6=11π6-\dfrac{\pi}{6} = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = {\color{#1865f2} \dfrac{11\pi}{6}}

Galapunkts sakrīt ar 11π6\tfrac{11\pi}{6} — IV kvadrants.

xy0
00
π6\tfrac{\pi}{6}
π4\tfrac{\pi}{4}
π3\tfrac{\pi}{3}
π2\tfrac{\pi}{2}
2π3\tfrac{2\pi}{3}
3π4\tfrac{3\pi}{4}
5π6\tfrac{5\pi}{6}
π\pi
7π6\tfrac{7\pi}{6}
5π4\tfrac{5\pi}{4}
4π3\tfrac{4\pi}{3}
3π2\tfrac{3\pi}{2}
5π3\tfrac{5\pi}{3}
7π4\tfrac{7\pi}{4}
11π6\tfrac{11\pi}{6}
−π6-\tfrac{\pi}{6}
IepriekšējāVienības riņķisNākamāSinusa un kosinusa grafiki