Mācies Vieglāk
Statistika

Izkliedes mēri

TeorijaUzdevumi

Izkliedes mēri

Vidējie lielumi parāda, kur dati koncentrējas, bet tie neizstāsta, cik ļoti dati atšķiras viens no otra. Vai visi skolēni saņēma aptuveni vienādu atzīmi, vai arī daži izcēlās un daži tālu atpalika? Lai to raksturotu, izmanto izkliedes mērus.

Amplitūda

Starpība starp lielāko un mazāko vērtību datu kopā. Raksturo datu izkliedes diapazonu — cik plašs ir vērtību intervāls.

R=xmax⁡−xmin⁡R = x_{\max} - x_{\min}
R=xmax⁡−xmin⁡=10−4=6R = x_{\max} - x_{\min} = 10 - 4 = {\color{#1865f2} 6}

Dispersija un standartnovirze

Amplitūda ņem vērā tikai divas robežvērtības. Dispersija un standartnovirze ņem vērā visas vērtības — tās mēra, cik tālu katrs datu punkts atrodas no vidējā.

Dispersija s2s^2Vidējā kvadrātiskā novirze no vidējā — katra datu punkta novirze tiek pacelta kvadrātā, tad aprēķina vidējo.
s2=(x1−xˉ)2+(x2−xˉ)2+…+(xn−xˉ)2ns^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}
Standartnovirze ssKvadrātsakne no dispersijas. Atgriež rezultātu sākotnējā mērvienībā, tāpēc ir vieglāk interpretējama.
s=s2s = \sqrt{s^2}
s2=∑(xi−xˉ)2n=(2−4)2+(4−4)2+(6−4)23≈2,67s^2 = \dfrac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n} = \dfrac{(2-4)^2 + (4-4)^2 + (6-4)^2}{3} \approx {\color{#1865f2} 2{,}67}
s=2,67≈1,63s = \sqrt{2{,}67} \approx {\color{#1865f2} 1{,}63}

Kvartiles

Kvartiles sadala sakārtotu datu kopu četrās vienādās daļās — katrā ceturtdaļā atrodas 25% datu.

Q0Q_0 — minimums

Q1Q_1 — 1. kvartile: kreisās puses mediāna

Q2Q_2 — mediāna

Q3Q_3 — 3. kvartile: labās puses mediāna

Q4Q_4 — maksimums

Q0 (min)Q_0\ (\text{min})
Q1 (25%)Q_1\ (25\%)
Q2 (50%)Q_2\ (50\%)
Q3 (75%)Q_3\ (75\%)
Q4 (max)Q_4\ (\text{max})
IQRStarpkvartiļu amplitūda ir attālums starp 1. un 3. kvartili. Tā parāda, cik plaši izvietoti ir vidējie 50% datu.
IQR=Q3−Q1IQR = Q_3 - Q_1

Q2=8Q_2 = {\color{#1865f2} 8}, 4. elements (vidējais no 7)

Kreisā puse: {3; 5; 7}\{3;\ 5;\ 7\} → Q1=5Q_1 = {\color{#1865f2} 5}

Labā puse: {10; 12; 15}\{10;\ 12;\ 15\} → Q3=12Q_3 = {\color{#1865f2} 12}

IQR=Q3−Q1=12−5=7IQR = Q_3 - Q_1 = 12 - 5 = {\color{#1865f2} 7}

Histogramma un poligons

Kad datos ir daudz vērtību, tās grupē intervālos un attēlo grafiski. Divi galvenie attēlojumi ir histogramma un biežuma poligons.

Histogramma

Taisnstūri, kuru pamati = intervālu garums, augstumi = biežums. Taisnstūri blakus viens otram bez atstarpēm.

01020304050biežumsvērtībaBiežuma poligons

Lauzta līnija caur intervālu viduspunktiem. Galos pievieno nulles punktus, lai līnija noslēgtos.

01020304050biežumsvērtība

Normālais sadalījums

Kad datu ir daudz, to histogramma bieži veido zvanveida, simetrisku līkni ap vidējo vērtību — tas ir normālais sadalījums (Gausa līkne).
Tam pakļaujas daudzi reāli lielumi (augumi, atzīmes, mērījumu kļūdas), un tas ļauj precīzi paredzēt, cik datu atrodas noteiktā attālumā no vidējā:

ss — standartnovirze: vidējais attālums, par kādu datu vērtības atšķiras no vidējā xˉ\bar{x}.

  • 68,2 % datu atrodas intervālā [xˉ−s; xˉ+s][\bar{x} - s;\ \bar{x} + s]
  • 95,4 % datu atrodas intervālā [xˉ−2s; xˉ+2s][\bar{x} - 2s;\ \bar{x} + 2s]
  • 99,7 % datu atrodas intervālā [xˉ−3s; xˉ+3s][\bar{x} - 3s;\ \bar{x} + 3s]
[xˉ−s; xˉ+s]=[170−8; 170+8]=[162; 178][\bar{x} - s;\ \bar{x} + s] = [170 - 8;\ 170 + 8] = [162;\ 178]

Tas ir intervāls vienas standartnovirzes attālumā no vidējā, tāpēc tajā atrodas 68,2 % skolēnu.

1
Aprēķinām vidējo vērtību:
xˉ=7+9+10+11+135=10\bar{x} = \dfrac{7 + 9 + 10 + 11 + 13}{5} = 10
2
Aprēķinām dispersiju un standartnovirzi:
s2=(−3)2+(−1)2+02+12+325=205=4s^2 = \dfrac{(-3)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 3^2}{5} = \dfrac{20}{5} = 4
s=4=2s = \sqrt{4} = 2
3
Intervāls ir divu standartnoviržu attālumā no vidējā:
[xˉ−2s; xˉ+2s]=[10−4; 10+4]=[6; 14][\bar{x} - 2s;\ \bar{x} + 2s] = [10 - 4;\ 10 + 4] = [6;\ 14]

Tātad tajā atrodas 95,4 % datu.

Korelācija

Vai augstāki skolēni arī sver vairāk? Vai vairāk stundu mācīšanās nozīmē labākas atzīmes? Korelācija mēra, vai starp diviem lielumiem pastāv saistība.

Pozitīva korelācijaNegatīva korelācijaNav
korelācijas

Pīrsona korelācijas koeficients

Raksturo saistības stiprumu:

∣r∣∈(0,8; 1]|r| \in (0{,}8;\ 1]—cieša korelācija
∣r∣∈(0,4; 0,8]|r| \in (0{,}4;\ 0{,}8]—vidēja korelācija
∣r∣∈(0; 0,4]|r| \in (0;\ 0{,}4]—vāja korelācija

Kastu diagramma

Kastu diagramma vienā grafikā parāda mediānu, kvartiles, amplitūdu un izlecošās vērtības. Tā ir īpaši noderīga, lai salīdzinātu vairākas datu kopas.

!minQ1Q2Q3max!

! — izlecošā vērtība

Q1Q_1 līdz Q3Q_3 — kaste, ietver vidējos 50% datu

Q2Q_2 — mediāna

min =3= 3, Q1=5Q_1 = 5, Q2=8Q_2 = 8, Q3=12Q_3 = 12,
max =15= 15

Nav izlecošo vērtību — ūsas sniedzas līdz minimumam un maksimumam.

3581215

min =8= 8, Q1=11Q_1 = 11, Q2=14Q_2 = 14, Q3=18Q_3 = 18,
max =20= 20

Vērtība 40 stipri atšķiras no pārējām — tā ir izlecošā vērtība, kuru attēlo atsevišķi, un labā ūsa beidzas pie 20.

81114182040
Vidējie lielumi