Mācies Vieglāk
Rotācijas ķermeņi

Lode

TeorijaUzdevumi

Lode un sfēra

Loderotācijas ķermenis, ko iegūst, pusriņķim rotējot ap tā diametru.
Sfēralodes virsma — visu telpas punktu kopa, kas atrodas vienādā attālumā RR no centra.

Svarīgi nesajaukt abus jēdzienus: lode ir viss ķermenis (arī iekšpuse), bet sfēra ir tikai tā virsma.

Noklikšķini uz kāda no elementiem sarakstā zemāk, lai attēlā to iezīmētu:

Lodes šķēlums ar plakni

Ikviens lodes šķēlums ar plakni ir riņķis (vai punkts, ja plakne tikai pieskaras lodei). Ja plakne iet caur centru, iegūto lielāko riņķi sauc par lielo riņķi — tā rādiuss ir vienāds ar lodes rādiusu RR.

Attālums no centra līdz plaknei ir OA=dOA = d, lodes rādiuss OB=ROB = R, bet šķēluma riņķa līnijas rādiuss AB=rAB = r. Trijstūris △AOB\triangle AOB ir taisnleņķa, tāpēc pēc Pitagora teorēmas:

r=R2−d2r = \sqrt{R^2 - d^2}

Ievietojam vērtības Pitagora teorēmas sakarībā r = √(R² − d²).

1
Pieraksta formulu un ievieto vērtības:
r=R2−d2=132−52=169−25r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25}
2
Aprēķina sakni:
r=144r = \sqrt{144}
3
Pieraksta atbildi:
r=12 cmr = {\color{#1865f2}12\ \text{cm}}

No tās pašas sakarības izsaka otru kateti: d² = R² − r².

1
Izsaka attālumu:
d=R2−r2=102−62=100−36d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36}
2
Aprēķina sakni:
d=64d = \sqrt{64}
3
Pieraksta atbildi:
d=8 cmd = {\color{#1865f2}8\ \text{cm}}

Lodes virsma un tilpums

S=4πR2S = 4\pi R^2
V=43πR3V = \tfrac{4}{3}\pi R^3

Ievietojam vērtību sfēras laukuma formulā un atstājam atbildi ar π.

1
Pieraksta formulu un ievieto vērtību:
S=4πR2=4π⋅22S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 2^2
2
Aprēķina reizinājumu:
S=4π⋅4S = 4\pi \cdot 4
3
Pieraksta atbildi:
S=16π cm2S = {\color{#1865f2}16\pi\ \text{cm}^2}

Vispirms kāpinām rādiusu kubā, tad reizinām ar 4/3 un π.

1
Pieraksta formulu un ievieto vērtību:
V=43πR3=43π⋅33V = \tfrac{4}{3}\pi R^3 = \tfrac{4}{3}\pi \cdot 3^3
2
Aprēķina kubu un reizinājumu:
V=43π⋅27=4π⋅9V = \tfrac{4}{3}\pi \cdot 27 = 4\pi \cdot 9
3
Pieraksta atbildi:
V=36π cm3V = {\color{#1865f2}36\pi\ \text{cm}^3}

Ievietojam laukumu formulā un izsakām rādiusu.

1
Pieraksta vienādojumu:
4πR2=36π4\pi R^2 = 36\pi
2
Abas puses dala ar 4π:
R2=9R^2 = 9
3
Pieraksta atbildi:
R=3 cmR = {\color{#1865f2}3\ \text{cm}}

Lodes segments

Ja lodi pārgriež ar plakni, tā atšķeļ daļu, ko sauc par lodes segmentu (lodes vāciņu). Uzdevumos bieži pietiek uzzīmēt tikai aksiālšķēlumu — segments tajā ir riņķa daļa, ko atšķeļ horda:

Riņķis ar centru AA ir segmenta pamats: pamata rādiuss AC=rAC = r, segmenta augstums AB=HAB = H, bet lodes rādiuss OC=ROC = R.

Segmenta sfēriskās virsmas laukumu un tilpumu aprēķina pēc formulām, kur izmanto lodes rādiusu RR (nevis pamata rādiusu) un segmenta augstumu HH:

Ssegm.=2πRHS_{\text{segm.}} = 2\pi R H
Vsegm.=πH2(R−H3)V_{\text{segm.}} = \pi H^2 \left(R - \tfrac{H}{3}\right)

Ievēro: šīs sakarības nav dotas optimālā līmeņa formulu lapā.

Abās formulās ievieto lodes rādiusu R un segmenta augstumu H.

1
Sfēriskās virsmas laukums:
Ssegm.=2πRH=2π⋅5⋅3=30π cm2S_{\text{segm.}} = 2\pi R H = 2\pi \cdot 5 \cdot 3 = {\color{#1865f2}30\pi\ \text{cm}^2}
2
Pieraksta tilpuma formulu un ievieto vērtības:
Vsegm.=πH2(R−H3)=π⋅32⋅(5−33)V_{\text{segm.}} = \pi H^2 \left(R - \tfrac{H}{3}\right) = \pi \cdot 3^2 \cdot \left(5 - \tfrac{3}{3}\right)
3
Aprēķina iekavu un reizinājumu:
Vsegm.=π⋅9⋅4V_{\text{segm.}} = \pi \cdot 9 \cdot 4
4
Pieraksta atbildi:
Vsegm.=36π cm3V_{\text{segm.}} = {\color{#1865f2}36\pi\ \text{cm}^3}
IepriekšējāKonussNākamāCilindra un prizmas ģeometriskās kombinācijas