Mācies Vieglāk
Eksponentfunkcija

Eksponenciāli procesi

TeorijaUzdevumi

Eksponenciāls process

Daudzi procesi reālajā dzīvē neaug vienmērīgi, bet ar katru soli aizvien straujāk — baktēriju vairošanās, iedzīvotāju skaits pasaulē vai naudas pieaugums bankā. Tos sauc par eksponenciāliem processiem un tos apraksta eksponentfunkcija.

Eksponenciāls process

Process, kurā lielums katrā laika periodā mainās par vienu un to pašu procentu pp. Sākumvērtību apzīmē ar A0A_0, vērtību pēc nn periodiem ar AA.
A=A0(1+p100)nA = A_0 \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)^{n}

A0A_0 — sākumvērtība pp — procentu likme nn — periodu skaits

Ja lielums aug, procentu pieskaita: 1+p1001 + \dfrac{p}{100}

Ja lielums dilst, procentu atņem: 1−p1001 - \dfrac{p}{100}

A=A0(1−p100)nA = A_0 \left(1 - \dfrac{p}{100}\right)^{n}

Dilstošam procesam

Banku rēķini

Naudu bankā parasti nogulda ar saliktajiem procentiem — procentus aprēķina ne tikai no sākuma summas, bet arī no jau uzkrātajiem procentiem. Tāpēc katru gadu summu reizina ar 1+p1001 + \dfrac{p}{100}, un pēc nn gadiem tā aug eksponenciāli.

1
Identificē zināmās vērtības:
A0=600,p=4,n=10A_0 = 600, \quad p = 4, \quad n = 10
2
Ievieto augošā procesa formulā:
A=600(1+4100)10=600⋅(1,04)10A = 600 \left(1 + \dfrac{4}{100}\right)^{10} = 600 \cdot (1{,}04)^{10}
3
Aprēķini ar kalkulatoru:
A≈888,15 eiroA \approx {\color{#1865f2} 888{,}15 \text{ eiro}}
1
Identificē zināmās vērtības — process ir dilstošs:
A0=12 000,p=15,n=3A_0 = 12\,000, \quad p = 15, \quad n = 3
2
Ievieto dilstošā procesa formulā:
A=12 000(1−15100)3=12 000⋅(0,85)3A = 12\,000 \left(1 - \dfrac{15}{100}\right)^{3} = 12\,000 \cdot (0{,}85)^{3}
3
Aprēķini:
A=12 000⋅0,614125≈7369,50 eiroA = 12\,000 \cdot 0{,}614125 \approx {\color{#1865f2} 7369{,}50 \text{ eiro}}

Laika aprēķināšana

Ja jāatrod vērtība AA pēc nn periodiem, formulā vienkārši ievieto skaitļus. Bet, ja jāatrod pats periodu skaits nn — piemēram, pēc cik gadiem summa dubultosies — mainīgais atrodas kāpinātājā, tāpēc jārisina eksponentvienādojums. Kāpinātāju izsaka ar logaritmu.

n=log⁡qAA0n = \log_{q} \dfrac{A}{A_0}

q=1±p100q = 1 \pm \dfrac{p}{100} — augšanas koeficients

1
Uzraksti eksponentvienādojumu — summai jākļūst 3 reizes lielākai:
600⋅(1,04)n=3⋅600∣:600600 \cdot (1{,}04)^{n} = 3 \cdot 600 \quad \big| : 600
2
Izdala ar 600:
(1,04)n=3(1{,}04)^{n} = 3
3
Izsaka kāpinātāju pēc logaritma definīcijas:
n=log⁡1,043=28,01…n = \log_{1{,}04} 3 = 28{,}01\ldots
4
Noapaļo laiku uz augšu — pēc 28 gadiem summa vēl nav trīskāršojusies:
600⋅(1,04)28≈1799,22<1800600 \cdot (1{,}04)^{28} \approx 1799{,}22 < 1800
600⋅(1,04)29≈1871,19>1800600 \cdot (1{,}04)^{29} \approx 1871{,}19 > 1800
n=29 gadi{\color{#1865f2} n = 29 \text{ gadi}}

Ievēro! Laiku, kas izsaka, cik ilgi jāgaida līdz vajadzīgajai vērtībai, vienmēr noapaļo uz augšu. Ja to noapaļotu uz leju, vajadzīgā vērtība vēl nebūtu sasniegta, tāpēc pieskaita vēl vienu laika vienību.

Skaitļa logaritmsPakāpju īpašības