Mācies Vieglāk
Daļveida vienādojumi un nevienādības

Daļveida vienādojumi

TeorijaUzdevumi

Daļveida izteiksmes definīcijas apgabals

Vesela izteiksme, piemēram, polinoms 3y2+4y+23y^2 + 4y + 2, ir definēta ar visām mainīgā vērtībām — ar tām var veikt visas darbības. Daļveida izteiksmē tā nav: ja saucējs kļūst par nulli, izteiksmei zūd jēga, jo ar nulli dalīt nedrīkst.

Definīcijas apgabalsVisas mainīgā vērtības, ar kurām izteiksmei ir jēga.

Tāpēc daļveida racionāla izteiksme ir definēta ar visām tām mainīgā vērtībām, ar kurām saucējs nav vienāds ar nulli.

sauceˉjs≠0\text{saucējs} \neq 0

Daļa ir definēta tikai tad, ja saucējs nav nulle.

1
Saucējs nedrīkst būt nulle:
x−8≠0x - 8 \neq 0
2
Izslēdz aizliegto vērtību:
x≠8x \neq 8
3
Pieraksta definīcijas apgabalu:
x∈(−∞; 8)∪(8; +∞){\color{#1865f2} x \in (-\infty;\ 8) \cup (8;\ +\infty)}
1
Saucēju pielīdzina nullei:
x(x+8)=0x(x + 8) = 0
2
Reizinājums ir nulle, ja viens reizinātājs ir nulle:
x=0vaix+8=0  ⇒  x=−8x = 0 \quad \text{vai} \quad x + 8 = 0 \;\Rightarrow\; x = -8
3
Šīs vērtības jāizslēdz:
x≠0,x≠−8x \neq 0, \quad x \neq -8
4
Pieraksta definīcijas apgabalu:
x∈(−∞; −8)∪(−8; 0)∪(0; +∞){\color{#1865f2} x \in (-\infty;\ -8) \cup (-8;\ 0) \cup (0;\ +\infty)}

Daļveida racionāli vienādojumi

Ja vienādojumā nezināmais atrodas daļas saucējā, to sauc par daļveida racionālu vienādojumu. Risinot vispirms atbrīvojas no daļām — abas puses reizina ar kopsaucēju.

Daļveida racionāls vienādojums

Vienādojums, kurā ir daļas ar nezināmo saucējā.

Atrisināsim vienādojumu 3x−1+2=4−xx−1\dfrac{3}{x - 1} + 2 = \dfrac{4 - x}{x - 1}.

1
Nosaka definīcijas apgabalu — saucējs x−1x - 1 nedrīkst būt nulle:
x−1≠0  ⇒  x≠1x - 1 \neq 0 \;\Rightarrow\; x \neq 1
2
Nosaka kopsaucēju (x−1)(x - 1) un ar to reizina abas puses:
3(x−1)x−1+2(x−1)=(4−x)(x−1)x−1\dfrac{3\cancel{(x - 1)}}{\cancel{x - 1}} + 2(x - 1) = \dfrac{(4 - x)\cancel{(x - 1)}}{\cancel{x - 1}}
3
Atrisina iegūto vienādojumu:
3+2(x−1)=4−x3 + 2(x - 1) = 4 - x3+2x−2=4−x3 + 2x - 2 = 4 - x3x=33x = 3x=1x = 1
4
Pārbauda definīcijas apgabalu:
x≠1  ⇒  sakne nederx \neq 1 \;\Rightarrow\; \text{sakne neder}Atbilde: ∅ (tuksˇa kopa)\text{Atbilde: } {\color{#1865f2} \varnothing \text{ (tukša kopa)}}

Risināšana ar proporciju

Ja vienādojums ir divu daļu vienādība, ērti izmantot proporcijas pamatīpašību — sareizina krustiski.

ab=mn  ⇒  a⋅n=b⋅m\dfrac{a}{b} = \dfrac{m}{n} \;\Rightarrow\; a \cdot n = b \cdot m
1
Nosaka definīcijas apgabalu:
6x−12≠0  ⇒  x≠26x - 12 \neq 0 \;\Rightarrow\; x \neq 29x+18≠0  ⇒  x≠−29x + 18 \neq 0 \;\Rightarrow\; x \neq -2
2
Sareizina krustiski:
1⋅(9x+18)=1⋅(6x−12)1 \cdot (9x + 18) = 1 \cdot (6x - 12)
3
Atrisina:
9x+18=6x−129x + 18 = 6x - 123x=−303x = -30x=−10x = -10
4
Pārbauda: −10≠2-10 \neq 2 un −10≠−2-10 \neq -2:
x=−10{\color{#1865f2} x = -10}

Kad labajā pusē ir nulle

Ja daļveida vienādojuma labajā pusē ir nulle, risinājums kļūst īsāks. Daļa ir vienāda ar nulli tikai tad, ja tās skaitītājs ir nulle, bet saucējs nav nulle.

ab=0  ⇒  a=0 un b≠0\dfrac{a}{b} = 0 \;\Rightarrow\; a = 0 \text{ un } b \neq 0
1
Nosaka definīcijas apgabalu:
3x−12≠0  ⇒  x≠43x - 12 \neq 0 \;\Rightarrow\; x \neq 4
2
Skaitītāju pielīdzina nullei:
x2−16=0  ⇒  x=4;x=−4x^2 - 16 = 0 \;\Rightarrow\; x = 4; \quad x = -4
3
Pārbauda definīcijas apgabalu:
x=4:nepieder DA  ⇒  atmetx = 4: \quad \text{nepieder DA} \;\Rightarrow\; \text{atmet}x=−4:pieder DA  ⇒  derx = -4: \quad \text{pieder DA} \;\Rightarrow\; \text{der}
4
Pieraksta atbildi:
x=−4{\color{#1865f2} x = -4}
Daļveida vienādojumi teksta uzdevumos