Skaitļa logaritms

Kas ir logaritms?

Kāpināšanai ir sava pretējā darbība — atrast kāpinātāju. Kādā pakāpē jākāpina $2$ , lai iegūtu $8$ ? Šo kāpinātāju sauc par logaritmu. Tātad logaritms ir skaitlis, kas rāda, cik reizes bāze jāreizina pati ar sevi, lai iegūtu doto skaitli.

Logaritms

Skaitļa

b

logaritms pie bāzes

a

ir kāpinātājs

c

, kurā jākāpina bāze

a

, lai iegūtu skaitli

b

. Lasa: logaritms pie bāzes $a$ no skaitļa $b$ .

\log_a b = c \iff a^c = b

$a > 0$ $a \neq 1$ $b > 0$

\log_2 8 = {\color{#1865f2} 3},

\log_{1/3} 81 = {\color{#1865f2} -4},

Decimāllogaritms un naturālais logaritms

Diviem logaritmiem to biežās izmantošanas dēļ ir savi īpašie apzīmējumi. Tā kā mēs skaitām decimālajā sistēmā, ērti par bāzi izvēlēties $10$ , taču zinātniskos aprēķinos bieži izmanto konstanti $e \approx 2{,}718$ .

Decimāllogaritms

10

\lg b = \log_{10} b

Naturālais logaritms

e

\ln b = \log_e b

\lg 100 = {\color{#1865f2} 2},

\lg 0{,}1 = {\color{#1865f2} -1},

\ln e^3 = {\color{#1865f2} 3}

\ln e^{1/2} = {\color{#1865f2} \tfrac{1}{2}}

Logaritma īpašības

Logaritma īpašības ļauj pārveidot un vienkāršot izteiksmes — reizinājumu pārvērst summā, dalījumu starpībā un pakāpi izcelt kā reizinātāju. Tās ir atrodamas eksāmena formulu lapā.

\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y

\log_2 8 + \log_2 4 =

\log_2 16 - \log_2 2 =

3 \cdot \log_5 25 = 3 \cdot 2 = {\color{#1865f2} 6}

1 - 0 = {\color{#1865f2} 1}

Logaritma pamatidentitāte

Ja bāze $a$ ir gan pakāpes, gan logaritma bāze, tās viena otru "atceļ" un paliek logaritmējamais skaitlis.

a^{\log_a b} = b

5^{\log_5 9}