Mācies Vieglāk
Vektori

Vektoru izteikšana

TeorijaUzdevumi

Vektoru izteiksana taisnstūrī

Ģeometrijā bieži vien zināmi tikai daži pamata vektori — piemēram, taisnstūra malas. Jebkuru citu vektoru figūrā var izteikt caur šiem pamata vektoriem, izmantojot saskaitīšanas un atņemšanas likumus.

a⃗\vec{a}
b⃗\vec{b}
a⃗\vec{a}
b⃗\vec{b}
a⃗+b⃗\vec{a}+\vec{b}
AA
BB
DD
CC

Pretējais vektors

Ja AB⃗=a⃗\vec{AB} = \vec{a}, tad BA⃗=−a⃗\vec{BA} = -\vec{a} (tikpat garš, bet pretējā virzienā).

a⃗\vec{a}
b⃗\vec{b}
AA
BB
CC
DD
MM
1
Izteikt AC⃗\vec{AC}:
AC⃗=AB⃗+BC⃗\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}
AC⃗=a⃗+b⃗\vec{AC} = {\color{#1865f2} \vec{a} + \vec{b}}
a⃗\vec{a}
b⃗\vec{b}
AC⃗\vec{AC}
AA
BB
CC
DD
2
Izteikt DM⃗\vec{DM}:
DM⃗=DC⃗+CM⃗\vec{DM} = \vec{DC} + \vec{CM}
DM⃗=a⃗−12b⃗\vec{DM} = {\color{#1865f2} \vec{a} - \tfrac{1}{2}\vec{b}}
a⃗\vec{a}
12b⃗\tfrac{1}{2}\vec{b}
DM⃗\vec{DM}
AA
BB
CC
DD
MM

Vektoru izteiksana regulārā sešstūrī

Regulārs sešstūris ir īpaši ērts vektoru uzdevumiem — tā malas veido trīs pārus paralēlu nogriežņu, tāpēc daudzi vektori izrādās vienādi vai pretēji.

Regulāra sešstūra īpašības

— Visas malas ir vienāda garuma.
— Pretējās malas ir paralēlas.
— Garās diagonāles (AD, BE, CF)(AD,\ BE,\ CF) ir 2× garākas par malu.
a⃗\vec{a}
b⃗\vec{b}
c⃗\vec{c}
AA
BB
CC
DD
EE
FF
OO

Dotie vektori

c⃗\vec{c}
b⃗\vec{b}
a⃗\vec{a}
AA
BB
CC
DD
EE
FF

Ceļš no AA uz EE

−b⃗-\vec{b}
−c⃗-\vec{c}
AE⃗\vec{AE}
AA
BB
CC
DD
EE
FF

Ej no AA uz EE caur punktu FF:

AE⃗=AF⃗+FE⃗\vec{AE} = \vec{AF} + \vec{FE}
AF⃗=−FA⃗=−b⃗,FE⃗=−EF⃗=−c⃗\vec{AF} = -\vec{FA} = -\vec{b},\quad \vec{FE} = -\vec{EF} = -\vec{c}
AE⃗=−b⃗−c⃗=−(b⃗+c⃗)\vec{AE} = -\vec{b} - \vec{c} = {\color{#1865f2} -(\vec{b} + \vec{c})}

Vektoru izteiksana trijstūrī ar mediānām

Mediānas savieno trijstūra virsotnes ar pretējo malu viduspunktiem. Tās krustojas vienā punktā — smaguma centrā — un sniedz ērtus ceļus, kā izteikt dažādus vektorus caur diviem pamata vektoriem.

MediānaNogrieznis no trijstūra virsotnes uz pretējās malas viduspunktu.

Mediānu krustpunktā katra mediāna dalās attiecībā 2 : 1 no virsotnes.

a⃗\vec{a}
b⃗\vec{b}
BB
AA
CC
MM
NN
KK
OO
BO⃗=23BM⃗=23 ⁣(a⃗+12b⃗)\vec{BO} = \tfrac{2}{3}\vec{BM} = \tfrac{2}{3}\!\left(\vec{a} + \tfrac{1}{2}\vec{b}\right)

MM — viduspunkts ACAC BA⃗=a⃗\vec{BA} = \vec{a} AC⃗=b⃗\vec{AC} = \vec{b}

Vektori koordinātāsVektori telpā