Mācies Vieglāk
Vektori

Vektori telpā

TeorijaUzdevumi

Kordinātu sistēma telpā

Plaknē viss notiek divās dimensijās — bet reālā pasaule ir trīsdimensionāla. Lai aprakstītu punktu vai vektoru telpā, koordinātu sistēmai nepieciešama trešā ass.

Telpas koordinātu sistēma

Trīs pa pāriem perpendikulāras asis — Ox (abscisu), Oy (ordinātu), Oz (aplikātu). Katru punktu apraksta ar P(x; y; z)P(x;\ y;\ z).
xyzO

Vektora koordinātas telpā

Tāpat kā plaknē vektoru var pierakstīt ar divām koordinātām, telpā tam nepieciešamas trīs — pa vienai katras ass virzienā.

AB⃗=(x2−x1; y2−y1; z2−z1)\vec{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1;\ z_2 - z_1)

A(x1; y1; z1)A(x_1;\ y_1;\ z_1) — sākumpunkts B(x2; y2; z2)B(x_2;\ y_2;\ z_2) — galapunkts

1
Aprēķina katras koordinātas starpību:
x2−x1=4−1=3x_2 - x_1 = 4 - 1 = 3
y2−y1=−1−2=−3y_2 - y_1 = -1 - 2 = -3
z2−z1=5−(−3)=8z_2 - z_1 = 5 - (-3) = 8
2
Pieraksta vektora koordinātas:
AB⃗=(3; −3; 8)\vec{AB} = {\color{#1865f2}(3;\ {-3};\ 8)}

Vektora modulis telpā

Vektora garuma aprēķināšanai izmanto Pitagora teorēmu telpā.

∣AB⃗∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

x1,y1,z1x_1, y_1, z_1 — sākumpunkts x2,y2,z2x_2, y_2, z_2 — galapunkts

1
Ievieto koordinātas formulā:
∣KD⃗∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2|\vec{KD}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
=(−5−4)2+(−4−(−7))2+(1−6)2= \sqrt{(-5 - 4)^2 + (-4 - (-7))^2 + (1 - 6)^2}
2
Aprēķina katru saskaitāmo:
=(−9)2+(3)2+(−5)2=81+9+25= \sqrt{(-9)^2 + (3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{81 + 9 + 25}
3
Iegūst rezultātu:
∣KD⃗∣=115|\vec{KD}| = {\color{#1865f2}\sqrt{115}}

Vienības vektori

Tāpat kā skaitļu ass izmanto vienību kā mērauklu, koordinātu sistēma izmanto īpašus vienības vektorus, kuru garums ir tieši 1 un kuri norāda katras ass pozitīvo virzienu.

Plaknē

Divi vienības vektori:

  • i⃗\vec{i} — Ox ass virzienā
  • j⃗\vec{j} — Oy ass virzienā
a⃗=axi⃗+ayj⃗\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j}
i⃗\vec{i}
j⃗\vec{j}
xx
yy
Telpā

Trīs vienības vektori:

  • i⃗\vec{i} — Ox ass virzienā
  • j⃗\vec{j} — Oy ass virzienā
  • k⃗\vec{k} — Oz ass virzienā
a⃗=axi⃗+ayj⃗+azk⃗\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}
ijkxyz

Kolineāri vektori telpā

Kolineāri vektori

Vektori a⃗\vec{a} un b⃗\vec{b} ir kolineāri, ja eksistē skaitlis λ\lambda, ka a⃗=λb⃗\vec{a} = \lambda\vec{b}. Tad to koordinātas ir proporcionālas:
axbx=ayby=azbz=λ\frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z} = \lambda

λ\lambda — proporcionalitātes koeficients

1
Pārbauda koordinātu attiecības:
axbx=ayby=azbz  ⟹  3−1=−124=−3\displaystyle \frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z} \implies \frac{3}{-1} = \frac{-12}{4} = -3
2
Secina:
a⃗=−3b⃗  ⟹  a⃗∥b⃗\vec{a} = {\color{#1865f2}-3\vec{b}} \implies \vec{a} \parallel \vec{b}

Attālums starp diviem punktiem un viduspunkts

Attālumu starp diviem telpas punktiem var aprēķināt tieši no koordinātām — tas ir tieši vektora moduļa formula. Viduspunkta koordinātas iegūst kā abu punktu koordinātu vidējos aritmētiskos.

Attālums

Ja doti punkti A(x1;y1;z1)A(x_1; y_1; z_1) un B(x2;y2;z2)B(x_2; y_2; z_2):

∣AB∣=(x2 ⁣− ⁣x1)2+(y2 ⁣− ⁣y1)2+(z2 ⁣− ⁣z1)2|AB| = \sqrt{(x_2\!-\!x_1)^2 + (y_2\!-\!y_1)^2 + (z_2\!-\!z_1)^2}
Viduspunkts

Viduspunkta MM koordinātas:

x=x1+x22y=y1+y22z=z1+z22x = \frac{x_1+x_2}{2} \quad y = \frac{y_1+y_2}{2} \quad z = \frac{z_1+z_2}{2}
1
Nosaka viduspunkta EE koordinātas:
xE=3+52=4x_E = \dfrac{3+5}{2} = 4
yE=5+72=6y_E = \dfrac{5+7}{2} = 6
2
Aprēķina mediānas CECE garumu:
∣CE∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2|CE| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
=(4−8)2+(6−1)2=16+25=41= \sqrt{(4-8)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{16 + 25} = {\color{#1865f2}\sqrt{41}}
Vektoru izteikšana