Mācies Vieglāk
Daļveida funkcija un algebriskās daļas

Algebriskie vienādojumi

TeorijaUzdevumi

Ekvivalenti vienādojumi un pārveidojumi

Divi vienādojumi var izskatīties pavisam atšķirīgi, bet aprakstīt to pašu — tiem ir tieši tās pašas saknes. Tādus vienādojumus sauc par ekvivalentiem.

Ekvivalenti vienādojumiVienādojumi ar vienām un tām pašām saknēm.
5x+8=3x+205x + 8 = 3x + 20un2x=122x = 12
3x−96=4\dfrac{3x - 9}{6} = 4un3x−9=243x - 9 = 24
2(x+4)=102(x + 4) = 10unx+4=5x + 4 = 5

Atrisinot vienādojumu, mēs to soli pa solim pārveidojam — bet katrs solis saglabā tās pašas saknes. Šādus pārveidojumus sauc par ekvivalentiem.

Ekvivalents pārveidojumsPārveidojums, kura rezultātā saknes nemainās.

Pamata ekvivalentie pārveidojumi:

Pieskaitīšana
x−5=7x - 5 = 7
∣  +5\big|\; +5
x=12x = 12
Atņemšana
x+4=9x + 4 = 9
∣  −4\big|\; -4
x=5x = 5
Reizināšana
x3=6\dfrac{x}{3} = 6
∣  ⋅3\big|\; \cdot 3
x=18x = 18
Dalīšana
4x=204x = 20
∣  :4\big|\; : 4
x=5x = 5

Lineārs vienādojums

Vienkāršākais vienādojuma veids — tāds, kurā mainīgais ir tikai pakāpē. Vispirms savāc locekļus ar xx vienā pusē, skaitļus otrā pusē, un beigās izdali ar koeficientu pie xx.

ax+b=0ax + b = 0

a,ba, b — reāli skaitļi

a≠0a \neq 0— viena sakne x=−bax = -\dfrac{b}{a}
a=0, b≠0a = 0,\ b \neq 0— nav sakņu
a=0, b=0a = 0,\ b = 0— xx ir jebkurš skaitlis
5x−12=35x - 12 = 3∣  +12\big|\; +12
5x=155x = 15∣  :5\big|\; : 5
x=3{\color{#1865f2} x = 3}

Kvadrātvienādojums un diskriminants

Ja mainīgais parādās kvadrātā, vienādojumu sauc par kvadrātvienādojumu. Tā saknes nosaka diskriminants — viena vērtība, kas pasaka, cik sakņu ir un kā tās aprēķināt.

Kvadrātvienādojums—
ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
Diskriminants—
D=b2−4acD = b^2 - 4ac
Sakņu formulas—
x1,2=−b±D2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
D>0D > 0—divas dažādas saknes
D=0D = 0—viena (dubulta) sakne x=−b2ax = -\dfrac{b}{2a}
D<0D < 0—nav reālu sakņu
1
Koeficienti:
a=2,b=−7,c=3a = 2, \quad b = -7, \quad c = 3
2
Diskriminants:
D=(−7)2−4⋅2⋅3=49−24=25D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25
3
Saknes:
x1=7+54=12341=3,x2=7−54=2142=12x_1 = \dfrac{7 + 5}{4} = \dfrac{\cancel{12}^{3}}{\cancel{4}^{1}} = {\color{#1865f2} 3}, \quad x_2 = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{\cancel{2}^{1}}{\cancel{4}^{2}} = {\color{#1865f2} \dfrac{1}{2}}

Nepilnie kvadrātvienādojumi

Ja b=0b = 0 vai c=0c = 0, kvadrātvienādojums kļūst īsāks — un to var atrisināt bez diskriminanta, ar ātrākām metodēm.

ax2+bx=0ax^2 + bx = 0
(c=0)(c = 0)—iznes xx pirms iekavām

Atrisināt vienādojumu:
3x2−12x=03x^2 - 12x = 0

3x2−12x=03x^2 - 12x = 03x(x−4)=03x(x - 4) = 03x=0vaix−4=03x = 0 \quad \text{vai} \quad x - 4 = 0x1=0,x2=4x_1 = {\color{#1865f2} 0}, \quad x_2 = {\color{#1865f2} 4}
ax2+c=0ax^2 + c = 0
(b=0)(b = 0)—izsaka x2x^2, velk kvadrātsakni

Atrisināt vienādojumu:
5x2−45=05x^2 - 45 = 0

5x2−45=05x^2 - 45 = 05x2=455x^2 = 45x2=9x^2 = 9∣x∣=3  ⇒  x1,2=±3|x| = 3 \;\Rightarrow\; x_{1,2} = {\color{#1865f2} \pm 3}

Vjeta teorēma

Ja kvadrātvienādojums ir reducēts (a=0)(a = 0), tā saknes var uzminēt pēc to summas un reizinājuma. Jāatrod divi skaitļi, kuru summa ir −b-b un reizinājums ir cc — tie arī ir vienādojuma saknes. Šeit bb ir koeficients pie xx, bet cc ir brīvais loceklis.

{x1+x2=−bx1⋅x2=c\begin{cases} x_1 + x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases}

Reducētam vienādojumam x2+bx+c=0x^2 + bx + c = 0

{x1+x2=−b=8x1⋅x2=c=15\begin{cases} x_1 + x_2 = -b = 8 \\[4pt] x_1 \cdot x_2 = c = 15 \end{cases}3+5=8,3⋅5=153 + 5 = 8, \quad 3 \cdot 5 = 15x1=3,x2=5x_1 = {\color{#1865f2} 3}, \quad x_2 = {\color{#1865f2} 5}

Vispārīgam vienādojumam ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 formula izskatās tā:

{x1+x2=−bax1⋅x2=ca\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\[4pt] x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}

Vienādojuma sastādīšana no dotām saknēm

Vjeta teorēmu var lietot arī otrādi — ja zinām saknes, varam pierakstīt reducētu vienādojumu, kura saknes tieši šīs ir.

x2−(x1+x2)x+x1⋅x2=0x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0

Reducēts vienādojums ar saknēm x1,x2x_1, x_2

1
Summa un reizinājums:
x1+x2=2+(−3)=−1,x1⋅x2=2⋅(−3)=−6x_1 + x_2 = 2 + (-3) = -1, \quad x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (-3) = -6
2
Ievieto formulā:
x2+x−6=0{\color{#1865f2} x^2 + x - 6 = 0}
Sadalīšana reizinātājosAlgebriskās daļas definīcijas kopa