Daudzskaldņa diagonāles un šķēlums ar plakni

Prizma ir daudzskaldnis ar diviem vienādiem paralēliem pamatiem. Īpaša prizmu grupa ir paralēlskaldņi — tie ir gandrīz visos telpas uzdevumos.

Paralēlskaldņus iedala pēc tā, kāds ir to pamats un kā izvietotas sānu skaldnes:

Lai uzrakstītu saprotamu risinājumu, prizmas virsotnes apzīmē ar burtiem un skaidri nosauc katru tās daļu.

Trīs šķautnes, kas iziet no vienas virsotnes, sauc par dimensijām — tie ir garums, platums un augstums $a$, $b$, $c$. Diagonāli $d$ aprēķina līdzīgi Pitagora teorēmai, tikai klāt nāk trešā dimensija.

Taisnstūra paralēlskaldnī visas diagonāles ir vienāda garuma, tāpēc nav svarīgi, kuru no tām rēķinām.

Regulāram sešstūrim ir divu veidu diagonāles — īsākās un garākās —, tāpēc regulārai sešstūra prizmai ir arī divu veidu diagonālšķēlumi. Garāko sešstūra diagonāli un tās šķēlumu iegūst, velkot caur pretējām virsotnēm:

Sešstūra diagonāles atrod, izmantojot to, ka regulāra sešstūra iekšējais leņķis ir $120^\circ$ — zīmējumā viegli saskatīt taisnleņķa trijstūri ar $30^\circ$ leņķi.

Leņķis starp diagonāli (slīpni) un pamata plakni ir leņķis starp diagonāli un tās projekciju plaknē. Diagonāles $CA_1$ projekcija pamatā ir pamata diagonāle $CA$, tāpēc meklētais leņķis $\alpha$ atrodas taisnleņķa trijstūrī $CAA_1$.

Lai atrastu leņķi ar sānu skaldni, no diagonāles galapunkta velk perpendikulu pret šo skaldni. Taisnstūra paralēlskaldnī šķautne ir perpendikulāra sānu skaldnei, tāpēc $A_1D_1$ ir perpendikuls pret skaldni $DCC_1D_1$, un $CD_1$ ir diagonāles projekcija. Leņķis $\alpha$ atrodas taisnleņķa trijstūrī $CD_1A_1$.

Kubs ir taisnstūra paralēlskaldnis, kuram visas dimensijas ir vienādas ar šķautni $a$. Tāpēc tā formulas ir īpaši vienkāršas.