Mācies Vieglāk
Taisnes un plaknes telpā, daudzskaldņi

Regulāra četrstūra un sešstūra piramīda

TeorijaUzdevumi

Regulāra četrstūra piramīda

Regulāras četrstūra piramīdas pamats ir kvadrāts. Augstums projicējas kvadrāta diagonāļu krustpunktā — tas ir arī pamata centrs OO. Visi apzīmējumi un formulas ir tādi paši kā trijstūra piramīdai — mainās tikai pamata forma.

Noklikšķini uz kāda no elementiem sarakstā zemāk, lai attēlā to iezīmētu:

Apotēma mm, augstums HH un pamata rādiuss rr veido taisnleņķa trijstūri SOKSOK ar taisno leņķi centrā OO. Sānu šķautne ll, augstums HH un pusdiagonāle RR veido citu taisnleņķa trijstūri:

m2=H2+r2m^2 = H^2 + r^2
l2=H2+R2l^2 = H^2 + R^2

Sānu virsmu iegūst kā pusi no pamata perimetra reiz apotēma, bet tilpumu — kā trešdaļu no pamata laukuma reiz augstums:

Ssaˉnu=12⋅P⋅mS_{\text{sānu}} = \dfrac{1}{2} \cdot P \cdot m
V=13⋅Spamata⋅HV = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\text{pamata}} \cdot H

Apotēma, augstums un pamata rādiuss veido taisnleņķa trijstūri SOK.

1
Pamata rādiuss (puse no malas):
r=a2=62=3r = \dfrac{a}{2} = \dfrac{6}{2} = 3
2
Pitagora teorēma trijstūrī SOKSOK:
m2=H2+r2=42+32=16+9=25m^2 = H^2 + r^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25
3
Pieraksta atbildi:
m=5m = {\color{#1865f2}5}

Atsevišķi atrodam pamata laukumu un sānu virsmu, tad tos saskaitām.

1
Pamata laukums (kvadrāts):
Spamata=a2=62=36S_{\text{pamata}} = a^2 = 6^2 = 36
2
Sānu virsma:
Ssaˉnu=12⋅4a⋅m=12⋅24⋅5=60S_{\text{sānu}} = \dfrac{1}{2} \cdot 4a \cdot m = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60
3
Pieraksta atbildi:
S=36+60=96S = 36 + 60 = {\color{#1865f2}96}

Vispirms pamata laukums, tad ievietojam tilpuma formulā.

1
Pamata laukums:
Spamata=62=36S_{\text{pamata}} = 6^2 = 36
2
Ievieto tilpuma formulā:
V=13⋅36⋅4=12⋅4V = \dfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 12 \cdot 4
3
Pieraksta atbildi:
V=48V = {\color{#1865f2}48}

Regulāra sešstūra piramīda

Regulāras sešstūra piramīdas pamats ir regulārs sešstūris. Augstums projicējas sešstūra centrā OO. Visas piramīdas formulas paliek nemainīgas — atšķiras tikai pamata laukums, perimetrs un rādiuss.

Kā jebkurai regulārai piramīdai, apotēma mm, augstums HH un pamata rādiuss rr veido taisnleņķa trijstūri, tāpēc joprojām spēkā ir m2=H2+r2m^2 = H^2 + r^2, un sānu virsmu un tilpumu rēķina pēc tām pašām formulām.

Regulāram sešstūrim ar malu aa ir svarīga īpašība: tas sastāv no sešiem vienādmalu trijstūriem, tāpēc apvilktās riņķa līnijas rādiuss ir vienāds ar malu, R=aR = a:

Spamata=332a2S_{\text{pamata}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2
P=6aP = 6a
r=a32r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}
R=aR = a

Vispirms atrodam pamata rādiusu r, tad izmantojam Pitagora teorēmu.

1
Pamata rādiuss (sešstūra apotēma):
r=a32=432=23r = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}
2
Pitagora teorēma trijstūrī SOKSOK:
m2=H2+r2=22+(23)2=4+12=16m^2 = H^2 + r^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16
3
Pieraksta atbildi:
m=4m = {\color{#1865f2}4}

Sešstūra pamata laukumu rēķina pēc formulas, tad pieskaita sānu virsmu.

1
Pamata laukums (regulārs sešstūris):
Spamata=332a2=332⋅16=243S_{\text{pamata}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 24\sqrt{3}
2
Sānu virsma:
Ssaˉnu=12⋅6a⋅m=12⋅24⋅5=60S_{\text{sānu}} = \dfrac{1}{2} \cdot 6a \cdot m = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60
3
Pieraksta atbildi:
S=60+243S = {\color{#1865f2}60 + 24\sqrt{3}}

Vispirms pamata laukums, tad ievietojam tilpuma formulā.

1
Pamata laukums:
Spamata=332⋅42=243S_{\text{pamata}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = 24\sqrt{3}
2
Ievieto tilpuma formulā:
V=13⋅243⋅3=83⋅3V = \dfrac{1}{3} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 3 = 8\sqrt{3} \cdot 3
3
Pieraksta atbildi:
V=243V = {\color{#1865f2}24\sqrt{3}}
IepriekšējāRegulāra trijstūra piramīdaNākamāNeregulāra piramīda