Mācies Vieglāk
Pakāpes un progresijas

Ģeometriskā progresija

TeorijaUzdevumi

Definīcija

Kur aritmētiskā progresija pieliek vienādu skaitli, ģeometriskā progresija reizina ar vienādu skaitli. Tāpēc GP locekļi aug (vai samazinās) eksponenciāli — daudz ātrāk nekā AP.

Ģeometriskā progresijaVirkne (bn)(b_n), kurā katru nākamo locekli iegūst, iepriekšējo reizinot ar vienu un to pašu skaitli qq
KvocientsSkaitlis qq, ar kuru reizina katru locekli, lai iegūtu nākamo.
bn+1=bn⋅qb_{n+1} = b_n \cdot q

Kvocients qq var būt jebkurš no nulles atšķirīgs reāls skaitlis. Ja ∣q∣>1|q| > 1, locekļi pieaug pēc absolūtās vērtības; ja ∣q∣<1|q| < 1, samazinās.

Vispārīgā locekļa formula

Tāpat kā AP, GP nn-to locekli var atrast bez visu iepriekšējo aprēķināšanas — ar vienu formulu.

bn=b1⋅qn−1b_n = b_1 \cdot q^{n-1}

b1b_1 — pirmais loceklis qq — kvocients nn — kārtas numurs

1
Reizini pa solim ar kvocientu:
b1=3b_1 = 3
b2=3⋅2=6b_2 = 3 \cdot 2 = 6
b3=6⋅2=12b_3 = 6 \cdot 2 = 12
b4=12⋅2=24b_4 = 12 \cdot 2 = 24
b5=24⋅2=48b_5 = 24 \cdot 2 = 48
2
Vispārīgā locekļa formula:
bn=3⋅2n−1{\color{#1865f2} b_n = 3 \cdot 2^{n-1}}

Ģeometriskās progresijas īpašība

Ja AP loceklis ir kaimiņu aritmētiskais vidējais, tad GP loceklis ir kaimiņu ģeometriskais vidējais. Simetrija starp abām progresijām ir pilnīga.

bn2=bn−1⋅bn+1b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}

n≥2n \geq 2

1
b6b_6 ir savu kaimiņu ģeometriskais vidējais:
b62=b5⋅b7  ⟹  b6=b5⋅b7b_6^2 = b_5 \cdot b_7 \implies b_6 = \sqrt{b_5 \cdot b_7}
2
Ievieto vērtības un aprēķini:
b6=8⋅32=256=16b_6 = \sqrt{8 \cdot 32} = \sqrt{256} = {\color{#1865f2} 16}

Pirmo n locekļu summa

Ja jāsaskaita tikai daži pirmie locekļi, vienkāršāk ir tos saskaitīt tieši. Bet, ja runa par desmitiem locekļu, summas formula ietaupa daudz darba.

Sn=b1⋅(qn−1)q−1S_n = \dfrac{b_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}

b1b_1 — pirmais loceklis qq — kvocients (q≠1)(q \neq 1) nn — locekļu skaits

1
Tieša saskaitīšana:
3+6+12+24+48=933 + 6 + 12 + 24 + 48 = {\color{#1865f2} 93}
2
Formula:
S5=3⋅(25−1)2−1=3⋅311=93S_5 = \dfrac{3 \cdot (2^5 - 1)}{2 - 1} = \dfrac{3 \cdot 31}{1} = {\color{#1865f2} 93}

Abi varianti dod vienādu rezultātu: S5=93S_5 = 93.

Formulu lieto, kad locekļu skaits ir liels. Mazam nn (piemēram, 4–5) tieša saskaitīšana ir ātrāka un mazāk kļūdaina.

Uzdevums no dzīves

GP summas formula noder visur, kur kaut kas katru soli pieaug "reizēs", nevis par vienādu skaitli. Zemāk vari redzēt uzdevuma piemēru par krājkasi, kurā ieliktā summa katru mēnesi dubultojas.

Krājkasē pirmajā mēnesī ieliek 2 eiro. Katru nākamo mēnesi ieliek divreiz vairāk nekā iepriekšējā. Cik eiro kopā iekrāts pēc 6 mēnešiem?

1
Identificē zināmās vērtības:
b1=2,q=2,n=6b_1 = 2,\quad q = 2,\quad n = 6
2
Ievieto summas formulā:
S6=2⋅(26−1)2−1S_6 = \dfrac{2 \cdot (2^6 - 1)}{2 - 1}
3
Aprēķini:
S6=2⋅631=126 eiroS_6 = \dfrac{2 \cdot 63}{1} = {\color{#1865f2} 126 \text{ eiro}}

AP / GP salīdzinājums

Visu, ko tu zini par AP, var "tulkot" GP valodā:
saskaitīšana →\to reizināšana
aritmētiskais vidējais →\to ģeometriskais vidējais.

Aritmētiskā
progresija		Ģeometriskā progresija
Pāreja starp locekļieman+1=an+da_{n+1} = a_n + dbn+1=bn⋅qb_{n+1} = b_n \cdot q
Vispārīgais loceklisan=a1+(n−1)⋅da_n = a_1 + (n-1) \cdot dbn=b1⋅qn−1b_n = b_1 \cdot q^{n-1}
Vidējā locekļa īpašībaan=an−1+an+12a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}bn2=bn−1⋅bn+1b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}
Pirmo n locekļu summaSn=(a1+an)⋅n2S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}Sn=b1(qn−1)q−1S_n = \dfrac{b_1 (q^n - 1)}{q - 1}
Aritmētiskā progresija