Mācies Vieglāk
Taisnes un plaknes telpā, daudzskaldņi

Prizmas virsma un tilpums

TeorijaUzdevumi

Laukuma mēru pārveidojumi

Pirms rēķinām virsmu un tilpumu, atkārtosim mērvienības. Bieža kļūda: ja 1 cm=10 mm1\ \text{cm} = 10\ \text{mm}, tad it kā 1 cm2=10 mm21\ \text{cm}^2 = 10\ \text{mm}^2. Tā nav — laukumu nosaka divi garumi, tāpēc pārejot no vienas laukuma vienības uz citu, garuma attiecību kāpina kvadrātā:

1 cm2=10 mm⋅10 mm=100 mm21\ \text{cm}^2 = 10\ \text{mm} \cdot 10\ \text{mm} = 100\ \text{mm}^2

1 dm2=100 cm21\ \text{dm}^2 = 100\ \text{cm}^21 m2=100 dm2=10 000 cm21\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2 = 10\,000\ \text{cm}^21 km2=1 000 000 m21\ \text{km}^2 = 1\,000\,000\ \text{m}^2

Prizmas tilpums

Tilpums rāda, cik daudz vielas var iepildīt ķermenī. Jebkuras taisnas prizmas tilpumu iegūst, reizinot pamata laukumu ar prizmas augstumu:

V=Spamata⋅HV = S_{\text{pamata}} \cdot H

Taisnstūra paralēlskaldnim pamats ir taisnstūris ar malām aa un bb, tāpēc Spamata=a⋅bS_{\text{pamata}} = a \cdot b un tilpums vienāds ar visu triju dimensiju reizinājumu: V=a⋅b⋅cV = a \cdot b \cdot c. Kubam visas šķautnes ir vienādas ar aa, tāpēc V=a3V = a^3.

Sareizinām visas trīs dimensijas.

1
Pieraksta tilpuma formulu un ievieto vērtības:
V=a⋅b⋅c=3⋅4⋅8V = a \cdot b \cdot c = 3 \cdot 4 \cdot 8
2
Pieraksta atbildi:
V=96 cm3V = {\color{#1865f2}96\ \text{cm}^3}

Kubam visas dimensijas vienādas, tāpēc kāpinām šķautni kubā.

1
Pieraksta kuba tilpuma formulu:
V=a3=53V = a^3 = 5^3
2
Pieraksta atbildi:
V=125 cm3V = {\color{#1865f2}125\ \text{cm}^3}

Tilpumu mēra kubvienībās. Tāpat kā laukumam, pārejot no vienas vienības uz citu, garuma attiecību tagad kāpina kubā. Sadzīvē tilpumu bieži mēra litros — viens litrs ir 1 dm31\ \text{dm}^3.

Prizmas virsmas laukums

Par prizmas sānu virsmas laukumu sauc visu sānu skaldņu laukumu summu. Taisnai prizmai visas sānu skaldnes ir taisnstūri ar augstumu HH, tāpēc to summa vienāda ar pamata perimetru reiz augstums:

Ssaˉnu=Ppamata⋅HS_{\text{sānu}} = P_{\text{pamata}} \cdot H

Par pilnas virsmas laukumu sauc visu skaldņu laukumu summu — sānu virsma un abi pamati:

S=2⋅Spamata+Ppamata⋅HS = 2 \cdot S_{\text{pamata}} + P_{\text{pamata}} \cdot H

Vispirms atrodam pamata laukumu un perimetru, tad ievietojam pilnas virsmas formulā.

1
Pamata laukums (taisnleņķa trijstūris):
Spamata=3⋅42=6S_{\text{pamata}} = \dfrac{3 \cdot 4}{2} = 6
2
Pamata perimetrs:
Ppamata=3+4+5=12P_{\text{pamata}} = 3 + 4 + 5 = 12
3
Ievieto pilnas virsmas formulā:
S=2⋅6+12⋅10=12+120S = 2 \cdot 6 + 12 \cdot 10 = 12 + 120
4
Pieraksta atbildi:
S=132S = {\color{#1865f2}132}

Pamats ir taisnstūris, tāpēc laukums ir a·b, bet perimetrs 2(a+b).

1
Pamata laukums un perimetrs:
Spamata=3⋅4=12,Ppamata=2(3+4)=14S_{\text{pamata}} = 3 \cdot 4 = 12, \quad P_{\text{pamata}} = 2(3 + 4) = 14
2
Ievieto pilnas virsmas formulā:
S=2⋅12+14⋅8=24+112S = 2 \cdot 12 + 14 \cdot 8 = 24 + 112
3
Pieraksta atbildi:
S=136S = {\color{#1865f2}136}

Regulāra sešstūra laukumu iegūst kā 6 regulārus trijstūrus; perimetrs ir 6 malas.

1
Pamata laukums (regulārs sešstūris):
Spamata=6⋅4234=243S_{\text{pamata}} = 6 \cdot \dfrac{4^2\sqrt{3}}{4} = 24\sqrt{3}
2
Pamata perimetrs:
Ppamata=6⋅4=24P_{\text{pamata}} = 6 \cdot 4 = 24
3
Ievieto pilnas virsmas formulā:
S=2⋅243+24⋅10S = 2 \cdot 24\sqrt{3} + 24 \cdot 10
4
Pieraksta atbildi:
S=483+240S = {\color{#1865f2}48\sqrt{3} + 240}
IepriekšējāDaudzskaldņa diagonāles un šķēlums ar plakniNākamāRegulāra trijstūra piramīda