Neregulāra piramīda

Regulārai piramīdai augstums vienmēr projicējas pamata centrā. Ja piramīda ir neregulāra, augstums nokrīt citur — un tieši kur, pasaka piramīdas papildu nosacījums.

Tilpumu visos trijos gadījumos rēķina pēc vienas formulas:

Ja visas sānu šķautnes ir vienāda garuma (vai veido ar pamatu vienādus leņķus), augstums projicējas pamatam apvilktās riņķa līnijas centrā $O$. Attālums no $O$ līdz jebkurai pamata virsotnei ir rādiuss $R$, tāpēc $l$, $H$ un $R$ veido taisnleņķa trijstūri:

Šāda piramīda pastāv tikai tad, ja pamatam var apvilkt riņķa līniju. Taisnleņķa trijstūrim tās centrs ir hipotenūzas viduspunkts, tāpēc $R = \dfrac{c}{2}$, bet taisnstūrim — diagonāļu krustpunkts.

Ja visām sānu skaldnēm ir vienādi augstumi $h$, tad augstums projicējas pamatam ievilktās riņķa līnijas centrā $O$. Rādiuss $r$ ir perpendikulārs pamata malai (līdz pieskares punktam $K$), tāpēc $r$, $H$ un sānu augstums $h$ veido taisnleņķa trijstūri:

Visiem sānu augstumiem ir viena un tā pati projekcija $r$, tāpēc šādā piramīdā arī visi divplakņu kakti pie pamata ir vienādi. Šāda piramīda pastāv tikai tad, ja pamatam var ievilkt riņķa līniju. Rādiusu $r$ ērti izsaka caur pamata laukumu un pusperimetru $p = \dfrac{P}{2}$.

Ja sānu šķautne $SA$ ir perpendikulāra pamatam, tad tieši šī šķautne ir piramīdas augstums: $SA = H$, un tas projicējas virsotnē $A$. Tāpēc $SA$ ir perpendikulāra arī abām pamata malām no $A$, un sānu skaldnes $SAB$ un $SAC$ ir taisnleņķa trijstūri.

Sānu virsmu šeit rēķina kā visu sānu skaldņu laukumu summu — regulāras piramīdas formulu lietot nedrīkst. Ja pamats ir taisnstūris, pārējo skaldņu taisnleņķus pierāda ar triju perpendikulu teorēmu (TPT).