Eksponentvienādojumi

Vienādojumu, kurā mainīgais $x$ atrodas kāpinātājā, sauc par eksponentvienādojumu — piemēram, $2^{x+1} = 8$ vai $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$ . Atkarībā no vienādojuma izvēlas piemērotu risināšanas paņēmienu.

Reducēšana uz pamatformu

Ja abas puses var uzrakstīt ar vienādu bāzi, vienādojumu reducē pamatformā $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ . Tad, tā kā vienādām pakāpēm ar vienādām bāzēm ir vienādi kāpinātāji, pietiek pielīdzināt kāpinātājus.

a^{f(x)} = a^{g(x)} \;\Rightarrow\; f(x) = g(x)

$a > 0$ $a \neq 1$

2

3

Pāreja uz logaritmu

Ja bāzes nevar padarīt vienādas — kāpinātājs nav vesels skaitlis — izmanto logaritmu. Logaritms $\log_a b$ ir tieši tas kāpinātājs, kurā jākāpina bāze $a$ , lai iegūtu $b$ .

a^x = b \;\Rightarrow\; x = \log_a b

$a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$

x = \log_2 10

x = \log_2 \left(2\sqrt{2}\right)

Kopīgā reizinātāja iznešana

Ja vienādojumā vairākas pakāpes ir ar vienu bāzi, bet dažādiem kāpinātājiem, ērti ārpus iekavām iznest pakāpi ar mazāko kāpinātāju. Pēc tam paliek vienkāršs vienādojums.

2^x

3^x

Substitūcijas metode

Ja vienu un to pašu pakāpi $a^x$ apzīmē ar jaunu mainīgo $t = a^x$ , eksponentvienādojums pārvēršas par kvadrātvienādojumu. To atrisina, tad atgriežas pie $a^x$ . Tā kā $a^x > 0$ , katru negatīvu vai nulles vērtību $t \leq 0$ atmet.

t = a^x\;

$t > 0$

4^x

9^x

Grafiskā atrisināšana

Vienādojumu $a^x = f(x)$ var atrisināt grafiski: vienā koordinātu sistēmā konstruē abu pušu grafikus $y = a^x$ un $y = f(x)$ . Grafiku krustpunktu $x$ koordinātas ir vienādojuma saknes — cik krustpunktu, tik sakņu.

y = 2^x

Ar grafisko metodi iegūtās saknes ne vienmēr ir precīzas, tāpēc to lieto galvenokārt tad, kad jānosaka tikai sakņu skaits, vai kad vienādojumu citādi atrisināt nevar.