Mācies Vieglāk
Trigonometriskās izteiksmes

Trigonometriskie pamatvienādojumi

TeorijaUzdevumi

Trigonometriskie pamatvienādojumi

Tā kā sin⁡\sin un cos⁡\cos ir periodiski, vienādojumam sin⁡x=a\sin x = a ir bezgalīgi daudz risinājumu. Formulas raksta tos visus ar vienu kompaktu pierakstu, izmantojot veselu skaitļu parametru n∈Zn \in \mathbb{Z}.

Vienādojums sin⁡x=a\sin x = a

Vienādojumu sin⁡x=a\sin x = a ērti atrisināt ar vienības riņķi. Jāatrod divi leņķi, kuriem ir vienāda yy vērtība. Simetrisko leņķi iegūst, atņemot pirmo
no π\pi (180∘180^\circ). Periodiskuma dēļ katram vēl pieskaita pilnus apgriezienus.

Ja leņķi nevar pierakstīt ar tīru vērtību, izmanto arcsin⁡\arcsin.

x=α+2πnx=π−α+2πn\begin{aligned} x &= \alpha + 2\pi n \\ x &= \pi - \alpha + 2\pi n \end{aligned}

kur n∈Zn \in \mathbb{Z}

xy1−11−10
α\alpha
π−α\pi-\alpha

Atrisināt sin⁡x=32\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}

xy1−11−10
π3\tfrac{\pi}{3}
2π3\tfrac{2\pi}{3}
1
Noteikt arcsin⁡\arcsin vērtību:
arcsin⁡32=π3\arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\pi}{3}
2
Uzrakstīt abas risinājumu sērijas:
x=π3+2πnx = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n (I kvadrants)
x=π−π3+2πn=2π3+2πnx = \pi - \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n (II kvadrants)
3
Atbilde:
[x=π3+2πn,  n∈Zx=2π3+2πn,  n∈Z\left[\begin{array}{l} x = {\color{#1865f2} \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z} \\[6pt] x = {\color{#1865f2} \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z} \end{array}\right.
xy1−11−10
−π6-\tfrac{\pi}{6}
7π6\tfrac{7\pi}{6}
1
Noteikt arcsin⁡\arcsin vērtību:
arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{6}
2
Atbilde:
[x=−π6+2πn,  n∈Zx=7π6+2πn,  n∈Z\left[\begin{array}{l} x = {\color{#1865f2} -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z} \\[6pt] x = {\color{#1865f2} \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z} \end{array}\right.
xy1−11−10
arcsin⁡13\arcsin\tfrac{1}{3}
π−arcsin⁡13\pi-\arcsin\tfrac{1}{3}
1
Noteikt arcsin⁡\arcsin vērtību:
arcsin⁡13≈0,34\arcsin\dfrac{1}{3} \approx 0{,}34 (paliek arcsin⁡\arcsin)
2
Atbilde:
[x=arcsin⁡13+2πn,  n∈Zx=π−arcsin⁡13+2πn,  n∈Z\left[\begin{array}{l} x = {\color{#1865f2} \arcsin\dfrac{1}{3} + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z} \\[6pt] x = {\color{#1865f2} \pi - \arcsin\dfrac{1}{3} + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z} \end{array}\right.

Speciālie gadījumi

sin⁡x=0\sin x = 0—x=πn,  n∈Zx = \pi n,\; n \in \mathbb{Z}
sin⁡x=1\sin x = 1—x=π2+2πn,  n∈Zx = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}
sin⁡x=−1\sin x = -1—x=−π2+2πn,  n∈Zx = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}

Vienādojums cos⁡x=a\cos x = a

Tāpat kā sin⁡x=a\sin x = a, vienādojumu cos⁡x=a\cos x = a ērti atrisināt ar vienības riņķi. Jāatrod divi leņķi, kuriem ir vienāda xx vērtība.
Atšķirībā no sinusa tie ir simetriski pret xx-asi, tāpēc otrais leņķis ir pirmā pretējā vērtība. Periodiskuma dēļ katram vēl pieskaita pilnus apgriezienus.

Ja leņķi nevar pierakstīt ar tīru vērtību, izmanto arccos⁡\arccos.

x=±α+2πnx = \pm\alpha + 2\pi n

kur n∈Zn \in \mathbb{Z}

xy1−11−10
α\alpha
−α-\alpha

Atrisināt cos⁡x=22\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

xy1−11−10
π4\tfrac{\pi}{4}
−π4-\tfrac{\pi}{4}
1
Noteikt arccos⁡\arccos vērtību:
arccos⁡22=π4\arccos\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\pi}{4}
2
Pielietot ±\pm formulu:
x=±π4+2πnx = \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n
3
Atbilde:
x=±π4+2πn,  n∈Zx = {\color{#1865f2} \pm\dfrac{\pi}{4} + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z}
xy1−11−10
5π6\tfrac{5\pi}{6}
−5π6-\tfrac{5\pi}{6}
1
Noteikt arccos⁡\arccos vērtību:
arccos⁡(−32)=5π6\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{5\pi}{6}
2
Atbilde:
x=±5π6+2πn,  n∈Zx = {\color{#1865f2} \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z}
xy1−11−10
arccos⁡0,44\arccos 0{,}44
−arccos⁡0,44-\arccos 0{,}44
1
Noteikt arccos⁡\arccos vērtību:
arccos⁡0,44≈1,12\arccos 0{,}44 \approx 1{,}12 (paliek arccos⁡\arccos)
2
Atbilde:
x=±arccos⁡0,44+2πn,  n∈Zx = {\color{#1865f2} \pm\arccos 0{,}44 + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z}

Speciālie gadījumi

cos⁡x=0\cos x = 0—x=π2+πn,  n∈Zx = \dfrac{\pi}{2} + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}
cos⁡x=1\cos x = 1—x=2πn,  n∈Zx = 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}
cos⁡x=−1\cos x = -1—x=π+2πn,  n∈Zx = \pi + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}
Argumentu summas un starpībasSadalīšana reizinātājos