Mācies Vieglāk
Daļveida vienādojumi un nevienādības

Daļveida vienādojumi teksta uzdevumos

TeorijaUzdevumi

Kopīgā darba uzdevumi

Šajos uzdevumos darba apjoms nav norādīts — visu darbu uzskata par vienu veselu. Ja visu darbu paveic tt laika vienībās, tad vienā laika vienībā paveic 1t\dfrac{1}{t} daļu no darba.

Divi strādnieki, kopā strādājot, darbu pabeidz 1212 stundās. Pirmais viens pats to paveiktu par 1010 stundām ātrāk nekā otrais. Cik stundās katrs paveiktu darbu, strādājot viens pats?

1
Ievieš nezināmo: xx — pirmā strādnieka laiks, tad otrā laiks ir x+10x + 10
2
Izsaka vienā stundā paveikto darba daļu:
pirmais: 1x,otrais: 1x+10,kopaˉ: 112\text{pirmais: } \dfrac{1}{x}, \quad \text{otrais: } \dfrac{1}{x + 10}, \quad \text{kopā: } \dfrac{1}{12}
3
Sastāda vienādojumu — abu daļu summa ir kopīgā darba daļa:
1x+1x+10=112,x≠0,  x≠−10\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 10} = \dfrac{1}{12}, \quad x \neq 0, \; x \neq -10
4
Reizina ar kopsaucēju 12x(x+10)12x(x + 10) un atrisina:
12(x+10)+12x=x(x+10)12(x + 10) + 12x = x(x + 10)24x+120=x2+10x24x + 120 = x^2 + 10xx2−14x−120=0x^2 - 14x - 120 = 0D=(−14)2+4⋅120=676D = (-14)^2 + 4 \cdot 120 = 676x1=14+262=20,x2=14−262=−6x_1 = \dfrac{14 + 26}{2} = 20, \quad x_2 = \dfrac{14 - 26}{2} = -6
5
Sakne x2=−6x_2 = -6 neder — laiks nevar būt negatīvs:
Pirmais — 20 h,otrais — 30 h{\color{#1865f2} \text{Pirmais — } 20 \text{ h}, \quad \text{otrais — } 30 \text{ h}}

Plānotais un faktiskais

Šos uzdevumus atpazīst pēc tā, ka kāds plāno paveikt noteiktu darba apjomu, taču reāli mainās gan izmantoto vienību skaits, gan vienā vienībā paveiktais. Ērti visu sakārtot tabulā, kur pēdējo aili iegūst, kopējo apjomu dalot ar vienību skaitu.

Lai pārvietotu 1212 tonnu kravas, pieprasīja noteiktu skaitu automašīnu. Katrā iekrāva par 11 tonnu mazāk, nekā plānots, tāpēc pieprasīja vēl 22 automašīnas. Cik automašīnu plānoja sākumā?

1
Ievieš nezināmo xx — plānotais mašīnu skaits — un aizpilda tabulu:
Mašīnu skaitsKrava (t)(\text{t})Krava vienā mašīnā (t)(\text{t})
Plānotsxx121212x\dfrac{12}{x}
Faktiskix+2x + 2121212x+2\dfrac{12}{x + 2}
2
Sastāda vienādojumu — plānotā krava vienā mašīnā ir par 1 tonnu lielāka nekā faktiskā:
12x−12x+2=1,x≠0,  x≠−2\dfrac{12}{x} - \dfrac{12}{x + 2} = 1, \quad x \neq 0, \; x \neq -2
3
Reizina ar kopsaucēju x(x+2)x(x + 2) un atrisina:
12(x+2)−12x=x(x+2)12(x + 2) - 12x = x(x + 2)24=x2+2x24 = x^2 + 2xx2+2x−24=0x^2 + 2x - 24 = 0D=4+4⋅24=100D = 4 + 4 \cdot 24 = 100x1=4,x2=−6  ⇒  atmetx_1 = 4, \quad x_2 = -6 \;\Rightarrow\; \text{atmet}
4
Aprēķina prasītos lielumus un pieraksta atbildi:
x+2=6,12x=124=3x + 2 = 6, \quad \dfrac{12}{x} = \dfrac{12}{4} = 3Plaˉnoja 4, izmantoja 6, krava vienaˉ masˇıˉnaˉ 3 t{\color{#1865f2} \text{Plānoja } 4 \text{, izmantoja } 6 \text{, krava vienā mašīnā } 3 \text{ t}}

Uzdevumi par kustību

Kustības uzdevumos visu balsta uz vienu sakarību starp ceļu, ātrumu un laiku. No tās izsaka laiku t=svt = \dfrac{s}{v}, ar nezināmo parasti apzīmē ātrumu, un atkarībā no nosacījuma sastāda ceļu vai laiku vienādojumu.

s=v⋅ts = v \cdot t

ss — ceļš, vv — ātrums, tt — laiks

Automašīna nobrauca 240 km240\text{ km}. Ja tā brauktu par 20 km/h20\text{ km/h} ātrāk, tā šo ceļu veiktu par 11 stundu ātrāk. Ar kādu ātrumu automašīna brauca?

1
Ievieš nezināmo xx — patiesais ātrums — un aizpilda tabulu (t=svt = \tfrac{s}{v}):
Ātrums (km/h)(\text{km/h})Laiks (h)(\text{h})Ceļš (km)(\text{km})
Faktiskixx240x\dfrac{240}{x}240240
Ātrākx+20x + 20240x+20\dfrac{240}{x + 20}240240
2
Sastāda vienādojumu — laiku starpība ir 1 stunda:
240x−240x+20=1,x≠0,  x≠−20\dfrac{240}{x} - \dfrac{240}{x + 20} = 1, \quad x \neq 0, \; x \neq -20
3
Reizina ar kopsaucēju x(x+20)x(x + 20) un atrisina:
240(x+20)−240x=x(x+20)240(x + 20) - 240x = x(x + 20)4800=x2+20x4800 = x^2 + 20xx2+20x−4800=0x^2 + 20x - 4800 = 0D=202+4⋅4800=19600D = 20^2 + 4 \cdot 4800 = 19600x1=−20+1402=60,x2=−80x_1 = \dfrac{-20 + 140}{2} = 60, \quad x_2 = -80
4
Sakne x2=−80x_2 = -80 neder — ātrums ir pozitīvs:
v=60 km/h{\color{#1865f2} v = 60 \text{ km/h}}
Daļveida vienādojumiLineāru un kvadrātnevienādību risināšana