Kombinatorika un varbūtība

Kopas jēdziens

Matemātikā objektus grupē kopās — tāpat kā ikdienā veidojam sarakstus vai kategorijas. Kopa ir skaidri noteiktu elementu kopums, kurā katrs elements parādās tikai vienu reizi.

Kopa un elements

Kopa ir noteiktu elementu kopums. Kopas apzīmē ar lielajiem burtiem: $A,\ B,\ C$ , elementus — ar mazajiem: $a,\ b,\ c$ .

a \in A

— elements

a

pieder kopai

A

a \notin A

— elements

a

nepieder kopai

A

Kopu veidi

— Galīga kopa (noteikts elementu skaits)

— Bezgalīga kopa (bezgalīgi daudz elementu)

— Tukša kopa

\emptyset

(satur nulles elementu)

Apakškopa

Ja katrs $B$ elements pieder arī kopai $A$ , tad $B$ ir apakškopa no $A$ .

B \subset A

$B$ — apakškopa $A$ — lielākā kopa, kas ietver $B$

Piemērs:
$\{\text{zaķis},\ \text{stirna}\} \subset \{\text{zaķis},\ \text{stirna},\ \text{vilks}\}$ . Zaķis un stirna pieder arī lielākajai dzīvnieku kopai.

Skaitļu kopu hierarhija

Matemātikā izmanto sešas galvenās skaitļu kopas, kas ligzdo viena otrā:

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

Darbības ar kopām

Tāpat kā ar skaitļiem var saskaitīt un atņemt, ar kopām var veikt trīs pamatdarbības: atrast kopīgo, apvienot visu, vai izņemt daļu.

A \cap B

ŠķēlumsElementi, kas pieder abām kopām vienlaikus.

A \cup B

ApvienojumsVisi elementi no abām kopām (bez atkārtojumiem).

A \setminus B

AtņemšanaElementi, kas pieder

A

, bet nepieder

B

A \cap B

—Elementi, kas pieder abām kopām vienlaikus.

A \cup B

—Visi elementi no abām kopām (bez atkārtojumiem).

A \setminus B

—Elementi, kas pieder A, bet nepieder B.

A \cap B = \emptyset

—kopām A un B nav neviena kopīga elementa.

35 + 45 = 80

Kombinatorikas ievads