Mācies Vieglāk
Trigonometriskās izteiksmes

Sadalīšana reizinātājos

TeorijaUzdevumi

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes

Sarežģītu trig. vienādojumu nekad neatrisina "uzreiz" — tas jāpārveido reizinātāju formā vai jāreducē līdz viena mainīgā algebriskam vienādojumam. Tiek izmantotas trīs metodes.

1. metode — sadalīšana reizinātājos

Ja izteiksmē var iznest kopīgu reizinātāju vai izmantot kvadrātu formulas, vienādojumu pārvērš reizinājuma formā un izmanto principu:

Atrisināsim vienādojumu cos⁡xcos⁡2x=cos⁡x\cos x \cos 2x = \cos x

1
Pārnesam visu uz vienu pusi, lai labajā pusē iegūtu nulli — tikai tad vienādojumu var sadalīt reizinātājos.:
cos⁡xcos⁡2x−cos⁡x=0\cos x \cos 2x - \cos x = 0
2
Abos locekļos ir kopīgais reizinātājs cos⁡x\cos x — iznesam to pirms iekavām.:
cos⁡x (cos⁡2x−1)=0\cos x \,(\cos 2x - 1) = 0
3
Reizinājums ir vienāds ar nulli, tātad vismaz vienam reizinātājam jābūt nullei. Risinām katru atsevišķi.:
cos⁡x=0\cos x = 0
x=π2+πn,  n∈Zx = \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}
cos⁡2x−1=0\cos 2x - 1 = 0
cos⁡2x=1\cos 2x = 1
2x=2πn    ∣:22x = 2\pi n \;\;|:2
x=πn,  n∈Zx = \pi n, \; n \in \mathbb{Z}
4
Apvienojam abus risinājumus vienā atbildē.:
[x=π2+πn,  n∈Zx=πn,  n∈Z\left[\begin{array}{l} x = {\color{#1865f2}\dfrac{\pi}{2} + \pi n},\; n \in \mathbb{Z} \\[6pt] x = {\color{#1865f2}\pi n},\; n \in \mathbb{Z} \end{array}\right.
1
Iznest kopīgo reizinātāju sin⁡x\sin x:
sin⁡x(2sin⁡x−1)=0\sin x(2\sin x - 1) = 0
2
Risināt katru reizinātāju:
sin⁡x=0\sin x = 0
x=πn,  n∈Zx = \pi n, \; n \in \mathbb{Z}
2sin⁡x−1=02\sin x - 1 = 0
sin⁡x=12\sin x = \dfrac{1}{2}
[x=π6+2πn,  n∈Zx=5π6+2πn,  n∈Z\left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \\[4pt] x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \end{array}\right.
3
Atbilde (trīs risinājumu sērijas):
x=πn;  x=π6+2πn;  x=5π6+2πn,  n∈Zx = {\color{#1865f2}\pi n};\; x = {\color{#1865f2}\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n};\; x = {\color{#1865f2}\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z}

2. metode — grupēšana

Ja nav acīmredzama kopīgā reizinātāja, locekļus sagrupē pa pāriem — no katras grupas iznest savu reizinātāju, pēc tam kopīgo.

Atrisināsim sin⁡xcos⁡x+2cos⁡x−sin⁡x−2=0\sin x \cos x + 2\cos x - \sin x - 2 = 0

1
Sagrupēt locekļus pa pāriem:
(sin⁡xcos⁡x−sin⁡x)+(2cos⁡x−2)=0(\sin x \cos x - \sin x) + (2\cos x - 2) = 0
2
Iznest reizinātāju no katras grupas:
sin⁡x(cos⁡x−1)+2(cos⁡x−1)=0\sin x(\cos x - 1) + 2(\cos x - 1) = 0
3
Iznest kopīgo reizinātāju (cos⁡x−1)(\cos x - 1):
(cos⁡x−1)(sin⁡x+2)=0(\cos x - 1)(\sin x + 2) = 0
4
Pielidzināt katru reizinātāju ar 0 un risināt:
cos⁡x−1=0\cos x - 1 = 0
cos⁡x=1\cos x = 1
x=2πn,  n∈Zx = 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}
sin⁡x+2=0\sin x + 2 = 0
sin⁡x=−2\sin x = -2
∅ (neeksisteˉ), jo ∣−2∣>1\varnothing \text{ (neeksistē), jo } |{-2}| > 1
5
Atbilde:
x=2πn,  n∈Zx = {\color{#1865f2} 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z}
1
Iznest kopīgo reizinātāju sin⁡x\sin x:
sin⁡x(1+cos⁡x)=0\sin x(1 + \cos x) = 0
2
Risināt katru reizinātāju:
sin⁡x=0\sin x = 0
x=πn,  n∈Zx = \pi n, \; n \in \mathbb{Z}
cos⁡x=−1\cos x = -1
x=π+2πn,  n∈Zx = \pi + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}
3
Atbilde (x=π+2πnx = \pi + 2\pi n jau ietverts x=πnx = \pi n pie nepāra n):
x=πn,  n∈Zx = {\color{#1865f2} \pi n},\; n \in \mathbb{Z}

3. metode — substitūcijas metode

Ja vienādojumā ir gan sin⁡2x\sin^2 x, gan cos⁡x\cos x (vai otrādi), izmanto identitāti, lai izteiktu visu caur vienu funkciju, pēc tam ievieš mainīgo tt un risina kvadrātvienādojumu.

sin⁡2x=t\sin^2 x = t
cos⁡2x=t\cos^2 x = t

Pēc substitūcijas iegūst algebrisku vienādojumu pret tt. Atceries: ∣t∣≤1|t| \leq 1.

Atrisināsim 2sin⁡2x−cos⁡x−1=02\sin^2 x - \cos x - 1 = 0

1
Aizstāt sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x:
2(1−cos⁡2x)−cos⁡x−1=02(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0
2
Savilkt līdzīgos:
2−2cos⁡2x−cos⁡x−1=02 - 2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0
2cos⁡2x+cos⁡x−1=02\cos^2 x + \cos x - 1 = 0
3
Ieviest t=cos⁡xt = \cos x, atrisināt kvadrātvienādojumu:
2t2+t−1=02t^2 + t - 1 = 0
(2t−1)(t+1)=0(2t - 1)(t + 1) = 0
t1=12,  t2=−1t_1 = \dfrac{1}{2},\; t_2 = -1
4
Atgriezties no tt uz cos⁡x\cos x:
cos⁡x=12\cos x = \tfrac{1}{2}
x=±π3+2πn,  n∈Zx = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}
cos⁡x=−1\cos x = -1
x=π+2πn,  n∈Zx = \pi + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}
5
Atbilde:
[x=±π3+2πn,  n∈Zx=π+2πn,  n∈Z\left[\begin{array}{l} x = {\color{#1865f2}\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z} \\[6pt] x = {\color{#1865f2}\pi + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z} \end{array}\right.
1
Aizstāt cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2 x = 1 - \sin^2 x:
3(1−sin⁡2x)+2sin⁡x−3=03(1 - \sin^2 x) + 2\sin x - 3 = 0
2
Savilkt līdzīgos:
3−3sin⁡2x+2sin⁡x−3=03 - 3\sin^2 x + 2\sin x - 3 = 0
−3sin⁡2x+2sin⁡x=0-3\sin^2 x + 2\sin x = 0
3
Iznest sin⁡x\sin x:
sin⁡x(2−3sin⁡x)=0\sin x(2 - 3\sin x) = 0
4
Risināt katru reizinātāju:
sin⁡x=0\sin x = 0
x=πn,  n∈Zx = \pi n, \; n \in \mathbb{Z}
sin⁡x=23\sin x = \tfrac{2}{3}
[x=arcsin⁡23+2πn,  n∈Zx=π−arcsin⁡23+2πn,  n∈Z\left[\begin{array}{l} x = \arcsin\dfrac{2}{3} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \\[4pt] x = \pi - \arcsin\dfrac{2}{3} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \end{array}\right.
5
Atbilde:
x=πn;  x=arcsin⁡23+2πn;x = {\color{#1865f2}\pi n};\; x = {\color{#1865f2}\arcsin\dfrac{2}{3} + 2\pi n};
x=π−arcsin⁡23+2πn,  n∈Zx = {\color{#1865f2}\pi - \arcsin\dfrac{2}{3} + 2\pi n},\; n \in \mathbb{Z}
Trigonometriskie pamatvienādojumi