Mācies Vieglāk
Pakāpes un progresijas

Pakāpe ar daļveida kāpinātāju

TeorijaUzdevumi

Sakne kā pakāpe ar daļveida kāpinātāju

Sakne un pakāpe nav divi atsevišķi rīki — sakne ir tikai cits veids, kā uzrakstīt pakāpi ar daļskaitli kā kāpinātāju.

amn=amn,a>0a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m},\quad a > 0

Daļveida pakāpi parasti definē tikai pozitīvām bāzēm a>0a > 0, lai izvairītos no problēmām ar negatīvām bāzēm pāra rādītājos.

Pāreja darbojas abos virzienos — no saknes uz daļveida pakāpi un atpakaļ:

53=513\displaystyle \sqrt[3]{5} = {\color{#1865f2} 5^{\frac{1}{3}}}
x34=x34\displaystyle \sqrt[4]{x^3} = {\color{#1865f2} x^{\frac{3}{4}}}
725=725\displaystyle 7^{\frac{2}{5}} = {\color{#1865f2} \sqrt[5]{7^2}}
a0,5=a12=a\displaystyle a^{0{,}5} = a^{\frac{1}{2}} = {\color{#1865f2} \sqrt{a}}

Specgadījumi

Atpazīsti šos trīs specgadījumus — un visas saknes "automātiski" pārvērtīsies par tev jau pazīstamām pakāpēm.

a1n=ana^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

N-tā sakne

a12=aa^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}

Kvadrātsakne

a13=a3a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}

Kubsakne

Daļveida pakāpes aprēķins

Lai aprēķinātu daļveida pakāpi ar konkrētu skaitlisku vērtību, vispirms pārveido to par sakni.

Aprēķināsim 3225\displaystyle 32^{\frac{2}{5}}

1
Pārveido par sakni:
3225=3225=(325)2\displaystyle 32^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{32^2} = \left(\sqrt[5]{32}\right)^2
2
Vispirms izvelc sakni:
325=2,jo 25=32\sqrt[5]{32} = 2,\quad \text{jo } 2^5 = 32
3
Iegūto sakni kāpini:
3225=22=4\displaystyle 32^{\frac{2}{5}} = 2^2 = {\color{#1865f2} 4}

Vispirms izvilkt sakni un tikai pēc tam kāpināt — tā skaitlis paliek mazs un aprēķins ērts. Kāpināt vispirms (piemēram, 322=102432^2 = 1024) un tikai pēc tam vilkt sakni ir neracionāli.

SaknesSkaitļu virknes