Mācies Vieglāk
Taisnes un plaknes telpā, daudzskaldņi

Regulāra trijstūra piramīda

TeorijaUzdevumi

Regulāra piramīda

Piramīda ir daudzskaldnis ar vienu daudzstūra pamatu un vienu virsotni, kas savienota ar visām pamata virsotnēm.

Regulāra piramīdapiramīda, kuras pamats ir regulārs daudzstūris, bet augstums projicējas pamata centrā.

No šīs īpašības izriet, ka regulāras piramīdas visas sānu skaldnes ir vienādi vienādsānu trijstūri, bet visas sānu šķautnes ir vienāda garuma.

Noklikšķini uz kāda no elementiem sarakstā zemāk, lai attēlā to iezīmētu:

Neuzmanības kļūda ir sajaukt apotēmu mm ar piramīdas augstumu HH. Augstums HH iet pa piramīdas iekšpusi līdz pamata centram, bet apotēma mm guļ uz sānu skaldnes. Kopā ar pamata rādiusu rr tie veido taisnleņķa trijstūri SOKSOK ar taisno leņķi virsotnē OO:

m2=H2+r2m^2 = H^2 + r^2

apotēma no augstuma un pamata rādiusa

Regulārs trijstūris

Regulāras trijstūra piramīdas pamats ir regulārs (vienādmalu) trijstūris. Tā centrs OO (mediānu krustpunkts) ir reizē ievilktās un apvilktās riņķa līnijas centrs. Visas pamata formulas izsaka caur malu aa:

h=a32h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}

augstums

S=a234S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}

laukums

r=a36=h3r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{h}{3}

ievilktās r.l. rādiuss

R=a33=2h3R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2h}{3}

apvilktās r.l. rādiuss

Virsma un tilpums

Regulāras piramīdas sānu virsma sastāv no vienādiem trijstūriem, kuru augstums ir apotēma mm. Izlokot tos vienā plaknē, laukumu iegūst kā pusi no pamata perimetra reiz apotēma:

Ssaˉnu=12⋅Ppamata⋅mS_{\text{sānu}} = \dfrac{1}{2} \cdot P_{\text{pamata}} \cdot m
S=Spamata+SsaˉnuS = S_{\text{pamata}} + S_{\text{sānu}}
V=13⋅Spamata⋅HV = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\text{pamata}} \cdot H

Regulārai trijstūra piramīdai pamats ir regulārs trijstūris, tāpēc:

Spamata=a234S_{\text{pamata}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}
Ppamata=3aP_{\text{pamata}} = 3a

Apotēma, augstums un pamata rādiuss veido taisnleņķa trijstūri SOK.

1
Pamata rādiuss (ievilktās r. l. rādiuss):
r=a36=636=3r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}
2
Pieraksta Pitagora teorēmu trijstūrī SOKSOK:
m2=H2+r2=42+(3)2=16+3m^2 = H^2 + r^2 = 4^2 + (\sqrt{3})^2 = 16 + 3
3
Pieraksta atbildi:
m=19m = {\color{#1865f2}\sqrt{19}}

Atsevišķi atrodam pamata laukumu un sānu virsmu, tad tos saskaitām.

1
Pamata laukums (regulārs trijstūris):
Spamata=a234=3634=93S_{\text{pamata}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}
2
Sānu virsma:
Ssaˉnu=12⋅3a⋅m=12⋅18⋅5=45S_{\text{sānu}} = \dfrac{1}{2} \cdot 3a \cdot m = \dfrac{1}{2} \cdot 18 \cdot 5 = 45
3
Pieraksta atbildi:
S=45+93S = {\color{#1865f2}45 + 9\sqrt{3}}

Vispirms pamata laukums, tad ievietojam tilpuma formulā.

1
Pamata laukums:
Spamata=6234=93S_{\text{pamata}} = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}
2
Ievieto tilpuma formulā:
V=13⋅93⋅4=33⋅4V = \dfrac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 4 = 3\sqrt{3} \cdot 4
3
Pieraksta atbildi:
V=123V = {\color{#1865f2}12\sqrt{3}}
IepriekšējāPrizmas virsma un tilpumsNākamāRegulāra četrstūra un sešstūra piramīda