Kvadrātnevienādības
Kvadrātnevienādība satur nezināmo kvadrātā. Lineāro nevienādību paņēmieni te vairs nedarbojas — atrisinājumu meklē, spriežot pēc parabolas grafika.
ax2+bx+c>0
Atrisinājumu ērti nolasīt, aptuveni uzskicējot parabolu y=ax2+bx+c un nosakot, kuros intervālos tās vērtības ir pozitīvas un kuros — negatīvas.
Atrisināsim kvadrātnevienādību x2−5x<−6
1
Pārnesam visu uz vienu pusi, lai labajā pusē paliktu nulle — tikai tad var spriest pēc parabolas zīmes:
x2−5x+6<0
2
Atrodam parabolas saknes, atrisinot x2−5x+6=0 — šie punkti sadala asi intervālos. Pēc Vjeta teorēmas:
x1⋅x2=6,x1+x2=5x1=2,x2=3
3
Skicējam parabolu (zari uz augšu, jo a=1>0) un atzīmējam saknes ar tukšiem punktiem, jo zīme ir stingra:
4
Nevienādībā ir <0, tāpēc nolasām to intervālu, kur parabola atrodas zem ass (vērtības negatīvas):
x∈(2; 3)
1
Reizinām abas puses ar −1, lai zari būtu uz augšu — zīme mainās:
2x2−4x+5≥0
2
Aprēķinām diskriminantu:
D=(−4)2−4⋅2⋅5=16−40=−24
3
Tā kā D<0, parabolai nav sakņu un tā nekrusto asi. Zari ir uz augšu, tātad visa parabola atrodas virs ass (vērtības pozitīvas):
4
Nevienādība 2x2−4x+5≥0 izpildās jebkurai x vērtībai:
x∈(−∞; +∞) jeb x∈R